Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Textabschnitt
Lemma
Beweis
Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für , so dass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung
hat den Durchschnitt als Kern. Dieser stimmt nach Fakt mit dem Produkt überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus
Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu rechts gegeben. Es seien und mit . Dann ist ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf
abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf .
Satz
Es sei ein Ideal in einem Dedekindbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung
Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus
Beweis
Da Dedekindbereiche eindimensional sind und die Primideale in der Zerlegung verschieden sind, gilt für . Dies überträgt sich direkt auf die Potenzen. Somit folgt die Aussage aus Fakt.