Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt

Das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

existiert für ${}x\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}>-1$. Dies ist der Ausgangspunkt der Fakultätsfunktion.

Definition

Für ${}x\in {\mathbb {C} }$, ${}\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}\geq -1$, heißt die Funktion

$x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

die Fakultätsfunktion.

Die durch

${}\Gamma (x):=\operatorname {Fak} \,x-1=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\,$

definierte Funktion heißt Gammafunktion, mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät noch deutlicher, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird.

Satz

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\cdot \operatorname {Fak} \,(x-1)$ für ${}\operatorname {Re} \,{\left(x\right)}>0$.
2. ${}\operatorname {Fak} \,(0)=1$.
3. ${}\operatorname {Fak} \,(n)=n!$ für natürliche Zahlen ${}n\in \mathbb {N}$.
4. ${}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {\pi }}$.

Beweis

(1) Mittels partieller Integration ergibt sich

${}{\begin{aligned}\operatorname {Fak} \,x&=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt\\&=-t^{x}e^{-t}|_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }xt^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\cdot \int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt\\&=x\operatorname {Fak} \,x-1.\end{aligned}}$

(2). Es ist

${}\operatorname {Fak} \,0=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=-e^{-t}|_{0}^{\infty }=1\,.$

(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.
(4). Es ist

${}\operatorname {Fak} \,-{\frac {1}{2}}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}\,dt=2\int _{0}^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s^{2}}\,ds={\sqrt {\pi }}\,.$

Dies ergibt sich mit der Substitution ${}t=s^{2}$ und dem sogenannten Fehlerintegral.

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