Diffeomorphismus/Transformationsformel/Abschätzung für Quader/Fakt

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$

für ${}x\in G$. Es sei ${}Q\subseteq G$ ein kompakter achsenparalleler Quader.

Dann gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(Q)\cdot {\min {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&\leq \lambda ^{n}(Q)\cdot {\max {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}.\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen