Diffeomorphismus/Transformationsformel/Abschätzung für Quader/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen . Wir beweisen zuerst die Abschätzung nach oben. Wir schreiben mit einem und wir müssen zeigen.
  Wir konstruieren induktiv eine Folge von Teilquadern mit der Eigenschaft

 Es sei . Für den Induktionsschluss von auf betrachten wir sämtliche Teilquader von mit halbierter Kantenlänge. Würden diese Teilquader alle die Ungleichung

erfüllen, so ergebe sich durch Aufsummieren sofort ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Es gibt also mindestens einen Quader mit .
Diese Quaderschachtelung definiert in jeder Komponente eine Intervallschachtelung und damit nach Fakt einen Punkt . Wegen der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes können wir und annehmen. Sei das totale Differential.
Da in differenzierbar ist, gilt

mit einer in stetigen Abbildung , die dort den Limes besitzt. Die lineare Approximation

bildet jeden Quader auf ein Parallelotop ab, das nach Fakt das Maß besitzt. Wir wollen mit für einen geeigneten Quader vergleichen. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, ist ein Isomorphismus und daher gibt es ein mit . Somit gibt es wegen der Stetigkeit von zu jedem ein mit

für alle  mit . Es sei , , ein Quader. Für ist

D.h. dass in dem Parallelotop liegt, das aus durch Streckung mit dem Streckungsfaktor entsteht. Damit gilt


 Wir nehmen an, dass gilt. Dann kann man auch ein mit finden. Wir nehmen ein derart, dass die oben beschriebene Eigenschaft bezüglich diesem besitzt. Für hinreichend groß kann man dann die obige Überlegung auf die Quader anwenden und erhält

 im Widerspruch zur Konstruktion dieser Quaderfolge.Wir zeigen zunächst, dass die Abschätzung nach oben nicht nur für Quader, sondern für beliebige

kompakte Mengen gilt. Zu jedem gibt es eine abzählbare Überpflasterung , , von mit

Durch Beschränkung der Kantenlängen der kann man weiter erreichen, dass alle in einer größeren ebenfalls kompakten Menge liegen. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von auf kann man zu gegebenem die so wählen, dass gilt. Damit ergibt sich

Da und beliebig klein gewählt werden können, gilt diese Abschätzung auch ohne und .
Wir wenden nun die Abschätzung nach oben auf die Umkehrabbildung und an. Als Bild einer kompakten Menge ist kompakt. Dabei gilt aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes die Beziehung

mit . Dies ergibt

Daraus ergibt sich