Diffeomorphismus/Transformationsformel/Abschätzung für Quader/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}j(x)=\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert$. Wir beweisen zuerst die Abschätzung nach oben. Wir schreiben ${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=c\cdot \lambda ^{n}(Q)$ mit einem ${}c\neq 0$ und wir müssen ${}c\leq {\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}$ zeigen.
  Wir konstruieren induktiv eine Folge von abgeschlossenen achsenparallelen Teilquadern ${}Q_{m}$, ${}m\in \mathbb {N}$, mit der Eigenschaft

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,.$

 Es sei

${}Q_{0}=Q$. Für den Induktionsschluss von ${}m$ auf ${}m+1$ betrachten wir sämtliche ${}2^{n}$ Teilquader von ${}Q_{m}$ mit halbierter Kantenlänge. Würden diese Teilquader ${}K_{i}$ alle die Ungleichung ${}\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))<c\cdot \lambda ^{n}(K_{i})$ erfüllen, so ergebe sich durch Aufsummieren sofort ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung (wegen Fakt sind die Ränder der Quader unerheblich). Es gibt also mindestens einen Quader ${}Q_{m+1}=K_{i}$ mit ${}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m+1}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m+1})$.
Diese Quaderschachtelung definiert in jeder Komponente eine Intervallschachtelung und damit nach Fakt einen Punkt ${}P\in \bigcap _{m\in \mathbb {N} }Q_{m}$. Wegen der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes können wir ${}P=0$ und ${}\varphi (P)=0$ annehmen. Es sei ${}L=\left(D\varphi \right)_{0}$ das totale Differential.
Da ${}\varphi$ in ${}0$ differenzierbar ist, gilt

${}\varphi (v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

mit einer in ${}0$ stetigen Abbildung ${}r$, die dort den Limes ${}0$ besitzt. Die lineare Approximation

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto L(v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)},$

bildet jeden Quader ${}K$ auf ein Parallelotop ${}T=L(K)$ ab, das nach Fakt das Maß ${}\lambda ^{n}(L(K))=j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)$ besitzt. Wir wollen ${}\varphi (K)$ mit ${}L(K)$ für einen geeigneten Quader ${}K$ vergleichen. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, ist ${}L$ ein Isomorphismus und daher gibt es ein ${}b\geq 0$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq b\Vert {L(v)}\Vert$ für alle ${}v$. Somit gibt es wegen der Stetigkeit von ${}b\Vert {r(v)}\Vert$ zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit

${}\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert \,$

für alle ${}v$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq \delta$. Es sei ${}K\subseteq B\left(0,\delta \right)$, ${}0\in K$, ein Quader. Für ${}v\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (v)-L(v)}\Vert &=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \\&\leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert .\end{aligned}}$

D.h. dass ${}\varphi (K)$ in dem Parallelotop ${}T'$ liegt, das aus ${}T=L(K)$ durch Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}1+\epsilon$ entsteht. Damit gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (K))\leq \lambda ^{n}(T')=(1+\epsilon )^{n}\cdot \lambda ^{n}(T)=(1+\epsilon )^{n}\cdot j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)\,.$

 Wir nehmen an, dass ${}{\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}<c$ gilt. Dann kann man auch ein ${}\epsilon >0$ mit ${}(1+\epsilon )^{n}j(0)<c$ finden. Wir nehmen ein ${}\delta >0$ derart, dass die oben beschriebene Eigenschaft bezüglich diesem ${}\epsilon$ besitzt. Für ${}m$ hinreichend groß kann man dann die obige Überlegung auf die Quader ${}K=Q_{m}$ anwenden und erhält

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))<c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,$

 im Widerspruch zur Konstruktion dieser Quaderfolge.Wir zeigen zunächst, dass die Abschätzung nach oben nicht nur für Quader, sondern für beliebige

kompakte Mengen ${}T$ gilt. Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine abzählbare Überpflasterung mit achsenparallelen Quadern ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, von ${}T$ mit

${}\lambda ^{n}(T)\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \lambda ^{n}(T)+\epsilon \,.$

Durch Beschränkung der Kantenlängen der ${}Q_{i}$ kann man weiter erreichen, dass alle ${}Q_{i}$ in einer größeren ebenfalls kompakten Menge ${}{\tilde {T}}\supseteq T$ liegen. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${}j$ auf ${}{\tilde {T}}$, die auf Fakt beruht, kann man zu gegebenem ${}{\tilde {\epsilon }}>0$ die ${}Q_{i}$ so wählen, dass ${}{\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\leq {\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}$ gilt. Damit ergibt sich

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(\varphi (T))&\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}{\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&={\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\right)}\\&\leq {\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\lambda ^{n}(T)+\epsilon \right)}.\end{aligned}}$

Da ${}\epsilon$ und ${}{\tilde {\epsilon }}$ beliebig klein gewählt werden können, gilt diese Abschätzung auch ohne ${}\epsilon$ und ${}{\tilde {\epsilon }}$.
Wir wenden nun die Abschätzung nach oben auf die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ und ${}T=\varphi (Q)$ an. Als Bild einer kompakten Menge ist ${}T$ nach Fakt wieder kompakt. Dabei gilt aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes die Beziehung

${}\left(D(\varphi ^{-1})\right)_{y}=(\left(D\varphi \right)_{x})^{-1}\,$

mit ${}y=\varphi (x)$. Dies ergibt

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(Q)&=\lambda ^{n}(\varphi ^{-1}(\varphi (Q)))\\&\leq {\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi ^{-1}\right)_{y}\!\mid ,y\in \varphi (Q)\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi ^{-1}\right)_{\varphi (x)}\!\mid ,x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}^{-1}\!\mid ,x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&={\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ^{-1},x\in Q\right)}}\cdot \lambda ^{n}(\varphi (Q)).\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich

$\lambda ^{n}(Q)\cdot {\min {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ,x\in Q\right)}}=\lambda ^{n}(Q)\cdot {\frac {1}{\max {\left(\mid \!\det \left(D\varphi \right)_{x}\!\mid ^{-1},x\in Q\right)}}}\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\,.$

Zur bewiesenen Aussage