Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Ein Normalenfeld auf ${}Y$ ist ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld ${}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit

   ${}F(P)\in N_{P}Y\,$

   für alle ${}P\in Y$.

2. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$

   eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

   ${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

   ist.

3. Unter dem Kotangentialraum an ${}P$ versteht man den Dualraum des Tangentialraumes ${}T_{P}M$ an ${}P$.
4. Der Punkt ${}Q\in L$ heißt regulär für ${}\varphi$, wenn die Tangentialabbildung

   $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$

   im Punkt ${}Q$ maximalen Rang besitzt.

5. Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ versehen mit den Karten

   $\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

   (mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

6. Unter einem Zusammenhang auf ${}E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels ${}TE=V\oplus H$ in zwei Untervektorbündel ${}V$ und ${}H$, wobei ${}V\subseteq TE$ das Vertikalbündel ist.

Zur gelösten Aufgabe