Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung


  1. Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei offen und sei ein differenzierbares Vektorfeld auf mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt der Vektor zum Tangentialraum an die Faser in an gehört. Dann verläuft die Lösung zum Anfangswertproblem zu mit der Anfangsbedingung ganz in .
  2. Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei

    eine orientierte Karte mit

    offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und . Dann ist

    Für eine messbare Teilmenge ist

  3. Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.