Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung


  1. Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

    ein auf einer offenen Umgebung definiertes Einheitsnormalenfeld zu und sei .

    Dann ist für jeden tangentialen Vektor

    wobei die Krümmung

    einer Bogenparametrisierung von ist, die mit der durch gegebenen Orientierung übereinstimmt.
  2. Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei eine positive Volumenform auf . Es sei

    ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit und eine messbare Teilmenge.

    Dann ist

  3. Es sei offen und sei eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Dann ist die Gaußkrümmung von gleich der Schnittkrümmung von .