Differentialgeometrie/Hyperfläche/Beschleunigung/Orthogonale Zerlegung/Einführung/Textabschnitt

Bemerkung  

Wir betrachten die Kurve

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

die sich vollständig auf dem Einheitskreis bewegt. Entsprechend sind die Ableitungen ${}v'(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}$ stets tangential zum Einheitskreis (was auch aus Bemerkung folgt). Die Norm davon ist konstant gleich ${}1$, der Einheitskreis wird gleichförmig mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit durchlaufen. Allerdings ändert sich die Geschwindigkeitsrichtung kontinuierlich und die zweite Ableitung ist

${}v^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}=-v(t)\,.$

Die Beschleunigung ist das Negative des Ortsvektors und steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Wenn man den Tangentialraum der umgebenden Ebene in einem Punkt ${}P$ des Kreises, also der ${}\mathbb {R} ^{2}$ aufgefasst mit ${}P$ als Ursprung, zerlegt in die zum Kreis tangentiale Richtung (Tangentialraum an die Faser) und in die dazu senkrechte Richtung (Normalraum) (im Sinne einer Zerlegung eines Vektorraumes als direkte Summe von Untervektorräumen), so spielt sich die Beschleunigung allein im Normalraum ab, die senkrechte Projektion auf den Tangentialraum ist stets ${}0$. In diesem Sinn ist die Beschleunigung irrelevant für die Bewegung auf dem Einheitskreis.

Wir betrachten nun allgemeiner eine Kurve

$w\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}},$

wobei ${}f$ eine zweifach differenzierbare reelle Funktion ist. Diese Kurve bewegt sich wie zuvor auf dem Einheitskreis, die Ableitung ist

${}w'(t)=f'(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}\,,$

sie ist also wie zuvor stets tangential zum Einheitskreis, wobei die Geschwindigkeitsnorm jetzt gleich ${}\vert {f'(t)}\vert$ ist. Die zweite Ableitung ist

${}w^{\prime \prime }(t)=f^{\prime \prime }(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}-{\left(f'(t)\right)}^{2}{\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}\,,$

wobei hier direkt die Zerlegung in die tangentiale und die dazu orthogonale Komponente steht. Die tangentiale Komponente ist ${}-{\left(f'(t)\right)}^{2}{\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}$, bei ${}f$ nicht konstant gibt es also auch Beschleunigung in tangentialer Richtung.

Bei einer Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt ${}P\in Y$ kann man stets den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$, aufgefasst als Tangentialraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$ in ${}P$, orthogonal zerlegen als

${}\mathbb {R} ^{n}=T_{P}Y\oplus N_{P}Y\,,$

wobei ${}N_{P}Y$ eine Gerade ist, die aus allen zu ${}T_{P}Y$ orthogonalen Punkten besteht und die Normalengerade heißt. Die Normalengerade besteht aus allen Vielfachen des Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,h(P)$ zu ${}P$, wenn ${}h$ eine beschreibende Funktion für ${}Y$ bezeichnet. Ein Normalenvektor ist ein Element der Normalegeraden mit Norm ${}1$, wovon es zwei gibt, die zueinander negativ sind. Durch die orthogonale Projektion längs ${}N_{P}Y$, also die Abbildung

$\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

kann man jedem Vektor im ${}\mathbb {R} ^{n}$ einen Vektor im Tangentialraum zuordnen.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve. Dann nennt man die Abbildung

$I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),$

wobei ${}\pi _{P}$ die orthogonale Projektion

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von ${}\gamma$.

Die Idee von einer zweiten Ableitung, die tangential zur Hyperfläche ist, wird allgemein im Kontext von den sogenannten Zusammenhängen weiterentwickelt.