Differenzierbare Funktionen/R/Höhere Ableitungen/Einführung/Textabschnitt
Die Ableitung einer (in jedem Punkt) differenzierbaren Funktion nennt man häufig auch die erste Ableitung von . Unter der nullten Ableitung versteht man die Funktion selbst. Höhere Ableitungen werden rekursiv definiert.
Definition
Es sei ein Intervall und sei
eine Funktion. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung
nennt man dann die -te Ableitung von .
Die zweite Ableitung schreibt man auch als , die dritte Ableitung als . Wenn eine Funktion -mal differenzierbar ist, so sagt man auch, dass die Ableitungen bis zur -ten Ordnung existieren. Eine Funktion heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar für jedes ist. Die Funktion ist differenzierbar, aber nicht zweifach differenzierbar, siehe Aufgabe.
Eine differenzierbare Funktion ist nach Fakt stetig, allerdings muss die Ableitung keineswegs stetig sein. Daher ist der folgende Begriff nicht überflüssig.
Definition
Es sei ein Intervall und
eine Funktion. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
In Beispiel wird eine differenzierbare, aber nicht stetig differenzierbare Funktion beschrieben. Eine Funktion heißt -mal stetig differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung stetig ist.