Stammfunktion und Riemann-Integral/1 durch x sin 1 durch x^2/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

mit

${}f(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar, da sie weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Es existieren also weder untere noch obere Treppenfunktionen für ${}f$. Trotzdem besitzt ${}f$ eine Stammfunktion. Dazu betrachten wir die Funktion

${}H(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {t^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist differenzierbar. Für ${}t\neq 0$ ergibt sich die Ableitung

${}H'(t)=t\cos {\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}\,.$

Für ${}t=0$ ist der Differenzenquotient gleich

${}{\frac {{\frac {h^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}}{h}}={\frac {h}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}\,.$

Für ${}h\mapsto 0$ existiert der Grenzwert und ist gleich ${}0$, so dass ${}H$ überall differenzierbar ist (aber nicht stetig differenzierbar). Der erste Summand in ${}H'$ ist stetig und besitzt daher nach Fakt eine Stammfunktion ${}G$. Daher ist ${}H-G$ eine Stammfunktion von ${}f$. Dies ergibt sich für ${}t\neq 0$ aus der expliziten Ableitung und für ${}t=0$ aus

${}H'(0)-G'(0)=0-0=0\,.$