Differenzierbare Hyperfläche/Einheitsnormalenfelder und Orientierung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld ${}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit

${}F(P)\in N_{P}Y\,$

für alle ${}P\in Y$ heißt Normalenfeld auf ${}Y$.

Wenn dabei zusätzlich

${}\Vert {N(P)}\Vert =1\,$

gilt, so spricht man von einem Einheitsnormalenfeld. Da die Normalengerade im betrachtenten Hyperflächenfall eindimensional ist, gibt es für jeden Punkt ${}P\in Y$ nur zwei mögliche Werte für ein Einheitsnormalenfeld an diesem Punkt, die zueinander negativ sind. Dabei interessiert man sich hauptsächlich nur für die Werte des Feldes auf ${}Y$, man betrachtet also zwei Normalenfelder zu ${}Y$ als identisch, wenn sie auf ${}Y$ übereinstimmen. Die offene Umgebung ist nur nötig, um von differenzierbar sprechen zu können.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei.

Dann ist ${}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}$ ein Einheitsnormalenfeld auf ${}Y$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist das Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,h$ nullstellenfrei auf ${}Y$ und daher wegen der vorausgesetzten Stetigkeit auch nullstellenfrei in einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Das angegebene Vektorfeld ist also in einer offenen Umgebung von ${}Y$ definiert. Die Orthogonalität zu den Tangentialräumen an die Faser und die Normiertheit sind klar.

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Beispiel

Ein einschaliges Hyperboloid.

Wir betrachten die Funktion ${}h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}-z^{2}-1$ und dazu die Faser über ${}0$, also das einschalige Hyperboloid ${}Y$. Der Gradient zu ${}h$ in einem Punkt ${}(x,y,z)$ ist durch ${}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}}$ und das totale Differential ist entsprechend durch ${}\left(2x,\,2y,\,-2z\right)$ gegeben, daher ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Der Tangentialraum in einem Punkt ist der Kern des totalen Differentials, eine Basis ist ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ (bei ${}x=0$ muss man den zweiten Vektor durch ${}{\begin{pmatrix}0\\z\\y\end{pmatrix}}$ ersetzen). Das Einheitsnormalenfeld ist

${}{\begin{aligned}N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})&={\frac {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}\Vert }}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Dann nennt man die Fixierung eines Einheitsnormalenfeldes auf ${}Y$ eine Orientierung von ${}Y$.

Zu einer Orientierung gibt es stets die negative oder die entgegengesetzte Orientierung. Wenn eine beschreibende Funktion ${}h$ für ${}Y$ fixiert ist, so erhält man mit Fakt direkt die Orientierung ${}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}$. Allerdings gehört zu ${}-h$ die entgegengesetzte Orientierung, und es gibt keine kanonische Möglichkeit, eine davon auszuwählen. Bei einem nullstellenfreien Normalenfeld kann man stets zum zugehörigen Einheitsnormalenfeld übergehen und erhält somit eine Orientierung.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y$ zusammenhängend.

Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf ${}Y$.

Beweis

Nach Fakt gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir ${}G$ bzw. ${}-G$. Es sei nun

$N\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte

${}Y_{1}={\left\{P\in Y\mid N(P)=G(P)\right\}}\,$

und

${}Y_{2}={\left\{P\in Y\mid N(P)=-G(P)\right\}}\,.$

Da es für jeden Punkt ${}P\in Y$ nur die beiden möglichen Werte

${}N(P)=\pm G(P)\,$

gibt, ist ${}Y$ die disjunkte Vereinigung von ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$. Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$ abgeschlossen (und damit auch offen in ${}Y$). Aufgrund des Zusammenhangs ist also ${}Y=Y_{1}$ oder ${}Y=Y_{2}$.

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