Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Unendlich/Abzählbare Topologie/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und sei ein Čech-Kozykel ${}h_{ij}\in \Gamma {\left(U_{ij},{\mathcal {E}}\right)}$ gegeben. Wir arbeiten mit der ${}C^{\infty }$-Version der Partition der Eins, siehe Fakt. Es sei also ${}g_{j}$, ${}j\in J$ eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung ${}U_{i}$ untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge ${}J$ über

${}U_{j}:=U_{i(j)}\,,$

somit ist der Träger von ${}g_{j}$ in ${}U_{j}$. Die ${}U_{j}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eine Verfeinerung der Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung ${}j\mapsto i(j)$ vor (es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach). Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder ${}I$.

Wir betrachten die Funktionen ${}g_{j}h_{ij}$, diese ist auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ definiert, kann aber durch ${}0$ auf ganz ${}U_{i}$ fortgesetzt werden.

Wir setzen

${}f_{i}=\sum _{j\in I}g_{j}h_{ij}\,,$

was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine ${}C^{\infty }$-Funktion auf ${}U_{i}$ ist. Die Kozykelbedingung ${}h_{ij}=h_{ik}-h_{jk}$ auf ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ überträgt sich durch Multiplikation mit ${}g_{k}$ auf ${}U_{i}\cap U_{j}$, da außerhalb von ${}U_{k}$ beide Seiten zu ${}0$ werden. Damit ist auf ${}U_{i}\cap U_{j}$

${}{\begin{aligned}h_{ij}&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ij}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}{\left(h_{ik}-h_{jk}\right)}\\&=\sum _{k\in I}g_{k}h_{ik}-\sum _{k\in I}g_{k}h_{jk}\\&=f_{i}-f_{j}\end{aligned}}$

und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.

Zur bewiesenen Aussage