Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Unendlich/Abzählbare Topologie/Erste Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt und arbeiten mit Čech-Kohomologie. Es sei eine offene Überdeckung und sei ein Čech-Kozykel gegeben. Wir arbeiten mit der -Version der Partition der Eins, siehe Fakt. Es sei also , eine Partition der Eins, die der offenen Überdeckung untergeordnet ist. Wir arbeiten mit der neuen Indexmenge über

somit ist der Träger von in . Die bilden ebenfalls eine offene Überdeckung und es liegt eine Verfeinerung der Ausgangsüberdeckung mit der Verfeinerungsabbildung vor (es kommen die gleichen Mengen vor, nur eventuell mehrfach). Wir arbeiten mit dem Kozykel auf der Verfeinerung und nennen die Indexmenge wieder .

Wir betrachten die Funktionen , diese ist auf definiert, kann aber durch auf ganz fortgesetzt werden.

Wir setzen

was wegen der lokalen Endlichkeit wohldefiniert ist und somit eine -Funktion auf ist. Die Kozykelbedingung auf überträgt sich durch Multiplikation mit auf , da außerhalb von beide Seiten zu werden. Damit ist auf

und die durch den Kozykel definierte Kohomologieklasse ist trivial.