Zu einer offenen Menge
sind die partiellen Ableitungen und als Operationen auf zweifach stetig differenzierbaren Funktionen vertauschbar, also
-
Eine Linearkombination
-
mit auf definierten reellwertigen Funktionen kann man als
Vektorfeld
-
und ebenso als Ableitungsoperator
-
auffassen
(oder von nach ).
In diesem Sinne entsprechen sich Vektorfelder und Differentialoperatoren der ersten Ordnung. Differentialoperatoren kann man aber darüber hinaus miteinander verknüpfen, wobei sich herausstellt, dass es auf die Reihenfolge ankommt.
Es sei
offen
und seien zweifach
stetig differenzierbare Funktionen
auf .
Dann gilt
-
Es ist
An dieser expliziten Beschreibung sieht man
-
da zwar der zweite Summand gleich ist, aber nicht der erste. Dies hat auch die folgende Konsequenz.
Es sei
offen
und seien zweifach
stetig differenzierbare Funktionen
auf mit den zugehörigen Differentialoperatoren
und
Dann gilt
-
Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung und somit einem Vektorfeld.
Nach
Fakt
ist
Auf einer Mannigfaltigkeit bezeichnen wir den Differentialoperator zu einem Vektorfeld mit . Zu einer differenzierbaren Funktion
ist
.
Angewendet auf einen Punkt
ist
-
Entsprechendes gilt für eine auf einer offenen Teilmenge von definierten differenzierbaren Funktion.
Es ist eine Konvention, welche Reihenfolge der Operatoren mit einem Minuszeichen in die Definition eingeht.
Es sei eine
-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt die
Lie-Klammer
von
Vektorfeldern
die folgenden Eigenschaften.
- Es ist
.
- Es ist
.
- Für eine differenzierbare Funktion auf ist
-
(1) folgt aus der Definition, (2) folgt aus der Beziehung
-
zwischen Differentialoperatoren und Vektorfeldern. (3). Da die Aussage lokal ist, können wir
-
und
ansetzen. Dann ist
-
und nach
Fakt
ist