Dreiecksgeometrie/Einführung/Textabschnitt

Unter einem Dreieck verstehen wir einfach ein Tupel ${}(A,B,C)$ aus drei Eckpunkten in einem affinen Raum ${}E$ (typischerweise eine affine Ebene) über einem euklidischen Raum ${}V$. Wir lassen die Situation, dass Eckpunkte zusammenfallen, als ausgeartete Dreiecke zu, und wir identifizieren Dreiecke, wenn sie durch eine Umbenennung der Ecken auseinander hervorgehen. Ein Dreieck ist nach Definition genau dann nicht ausgeartet, wenn die drei Punkte affin unabhängig sind. Häufig versteht man unter dem Dreieck auch seine konvexe Hülle, das ist die Menge

${\left\{rA+sB+tC\mid r+s+t=1,\,0\leq r,s,t\leq 1\right\}}$

aller baryzentrischen Kombinationen der drei Punkte, bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ sind. Die Verbindungsstrecke

${}{\overline {A,B}}={\left\{rA+sB\mid r+s=1,\,0\leq r,s\leq 1\right\}}\,$

heißt Seite zwischen den Eckpunkten ${}A$ und ${}B$ (oder gegenüber von ${}C$). Sie wird häufig mit ${}c$ bezeichnet, ihre Länge ist

${}d(A,B)=\Vert {\overrightarrow {AB}}\Vert \,.$

Entsprechende Festlegungen gelten für die beiden anderen Seiten. Manchmal werden auch die Seitenlängen mit ${}a,b,c$ bezeichnet. Der Winkel ${}\angle (A,B,C)$ des Dreiecks im Punkt ${}B$ ist durch

$\angle ({\overrightarrow {BA}},{\overrightarrow {BC}})$

definiert, entsprechend an den übrigen Eckpunkten. Die Winkel werden häufig mit ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ bezeichnet.

Definition

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen kongruent, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und Isometrien ineinander überführt werden können.

Man sagt auch, dass kongruente Dreiecke durch affin-lineare Isometrien ineinander überführt werden können.

Satz

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene

sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.

Beweis

Da Verschiebungen und Isometrien die Längen erhalten, ist es klar, dass kongruente Dreiecke längengleich sind. Es seien umgekehrt die beiden längengleichen Dreiecke ${}(A,B,C)$ und ${}(A',B',C')$ gegeben, wobei wir nach Umbenennung annehmen können, dass für die Seitenlängen die Beziehung

${}d(A,B)\geq d(A,C)\geq d(B,C)\,$

und ebenso für das zweite Dreieck gilt. Wir können ${}E=\mathbb {R} ^{2}$ annehmen und durch Verschiebungen erreichen, dass ${}A=A'=0$ ist. Durch Drehungen am Nullpunkt der beiden Dreiecke können wir erreichen, dass sowohl ${}B$ als auch ${}B'$ auf der positiven ${}x$-Achse liegen. Wegen der Längengleichung ist dann ${}B=B'$. Die Punkte ${}C$ und ${}C'$ haben einerseits zu ${}0$ und andererseits zu ${}B$ den gleichen Abstand, d.h. sie liegen auf den Schnittpunkten von einem Kreis um ${}0$ und einem Kreis um ${}B$. Da es nur zwei Schnittpunkte gibt, ist entweder ${}C=C'$ oder ${}C$ und ${}C'$ lassen sich durch eine Achsenspiegelung an der ${}x$-Achse ineinander überführen.

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Definition

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen eigentlich kongruent, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und eigentlichen Isometrien ineinander überführt werden können.

Definition

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen ähnlich, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und winkeltreuen Abbildungen ineinander überführt werden können.

Satz

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene

sind genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre Winkel übereinstimmen.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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