Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Semilokale Situation/Einführung/Textabschnitt
Satz
Es sei ein noetherscher kommutativer Ring mit nur endlich vielen Primidealen , die alle maximal seien.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Beweis
Die maximalen Ideale sind zugleich die minimalen Primideale. Daher besteht der Durchschnitt aller maximaler Ideale nur aus nilpotenten Elementen. Da der Ring noethersch ist, gibt es dann auch ein mit . Zu jedem maximalen Ideal betrachten wir die Lokalisierung . Wir behaupten, dass diese Lokalisierung isomorph zum Restklassenring
ist. Wegen ist und daher ist auch . Sei . Zu jedem gibt es ein mit . Daher gilt für jedes Element die Beziehung
Wegen bedeutet dies, dass unter der Lokalisierungsabbildung auf geht. Wir erhalten also einen Ringhomomorphismus
Damit ist die Lokalisierung rechts auch eine Lokalisierung des Restklassenringes links. Die maximalen Ideale erzeugen paarweise das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für beliebige Potenzen davon. Daraus folgt zunächst, dass das Ideal nur in enthalten ist. Daher ist der Restklassenring links selbst ein lokaler Ring. Also muss die Abbildung ein Isomorphismus sein.
Die gegebene Abbildung kann man also auch schreiben als
Hierbei erzeugen die paarweise das Einheitsideal, so dass nach einer Form des Chinesischen Restsatzes eine Isomorphie vorliegt.
Korollar
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es seien die endlich vielen Punkte aus mit den zugehörigen maximalen Idealen in .
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Beweis
Da und keinen gemeinsamen Primteiler haben, umfasst das Ideal nur endlich viele Primideale, die alle maximal sind. Daher erfüllt Der Restklassenring die Bedingungen aus Fakt. Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, entsprechen die maximalen Ideale eindeutig den Punkten im Schnitt der beiden zugehörigen Kurven und , so dass sich die Aussage ergibt.
Satz
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome ohne gemeinsamen Primteiler.
Dann ist
Beweis
Dies folgt direkt aus der in Fakt bewiesenen Isomorphie.