Eigenwert/Duale Abbildung/Aufgabe/Lösung

Die lineare Abbildung ${}\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben. Die duale Abbildung wird dann nach Fakt durch die transponierte Matrix ${}{M^{\text{tr}}}$ beschrieben. Die Matrizen ${}xE_{n}-M$ und ${}xE_{n}-{M^{\text{tr}}}$ sind zueinander transponiert. Nach Fakt stimmen also ihre Determinanten überein. Das bedeutet, dass ${}M$ und ${}{M^{\text{tr}}}$ das gleiche charakteristische Polynom haben. Da ${}a$ ein Eigenwert von ${}M$ ist, ist ${}a$ nach Fakt

eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und daher auch ein Eigenwert der dualen Abbildung.

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