Eisenstein-Zahlen/Ganzheitsring/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$, der die Ringe

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=A\subseteq \mathbb {Z} [\omega ]=B\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\,$

enthält, wobei ${}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}$ ist, d.h. ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen. Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$. Das Element ${}\omega$ erfüllt die Ganzheitsgleichung

${}\omega ^{2}+\omega +1=0\,,$

und somit ist ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ganz über ${}\mathbb {Z}$. Ferner ist ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ normal. Dies ergibt sich aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt. Nach Fakt ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$.