Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Definition sind die Koeffizienten der ${}L$-Reihe

${}L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$

multiplikativ, daher gibt es nach Fakt eine Produktdarstellung ${}L(E,s)=F_{p}(s)$ mit den lokalen Faktoren

${}F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}\,.$

Wir müssen zeigen, dass diese Faktoren mit den im Satz formulierten Faktoren in den beiden Fällen übereinstimmen.

Bei guter Reduktion wird

${}F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}={\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}\,$

behauptet. Wir schreiben den letzten Bruch unter Verwendung von Fakt als geometrische Reihe, es ist also

${}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}p^{-s}-p^{1-2s}\right)}^{\ell }=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}-p\cdot p^{-s}\right)}^{\ell }p^{-s\ell }\,.$

Wenn man hier (siehe Aufgabe mit ${}t=p^{-s}$) die Terme zusammenfasst, die sich auf ${}p^{-sk}$ beziehen, so erhält man Koeffizienten, die die Anfangsbedingungen und die rekursiven Bedingungen erfüllen, also mit den Koeffizienten aus den Definitionen übereinstimmen.

Der Fall von schlechter Reduktion folgt direkt aus der geometrischen Reihe.

Zur bewiesenen Aussage