Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Abschätzung für Addition/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass die -Koordinate von gleich ist, die Gleichung habe die Form

(durch die Verschiebung können wir nicht davon ausgehend, dass ist), es ist also . Es sei , dessen Höhe ist also nach Definition die absolute Höhe von . Es geht darum, eine Höhenabschätzung für zu zeigen, wobei

ist. Die expliziten Formel für die Koordinaten der Summe liefern

siehe Aufgabe. Die Summanden im Bruch haben die Form und , es ist ja fixiert. Die Höhe dieser ersten Terme kann man wegen Fakt jeweils durch eine Konstante mal nach oben abschätzen. Vom zuletzt genannten Term betrachten wir das Quadrat, also

und es geht wieder darum, die Höhe dieser Summanden nach oben abzuschätzen. Da die Summanden bis auf Konstanten die Form mit besitzen, haben wir insgesamt eine Abschätzung nach oben der Form . Durch Ziehen der Quadratwurzel erhalten wir wieder eine Abschätzung der gewünschten Form.