Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Abschätzung für Addition/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass die ${}x$-Koordinate von ${}P$ gleich ${}0$ ist, die Gleichung habe die Form

${}y^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$

(durch die Verschiebung können wir nicht davon ausgehend, dass ${}r=0$ ist), es ist also ${}P(0,y_{1},1)=$. Es sei ${}Q=(x_{2},y_{2},1)\in E(K)$, dessen Höhe ist also nach Definition die absolute Höhe von ${}(x_{2},1)$. Es geht darum, eine Höhenabschätzung für ${}x_{3}$ zu zeigen, wobei

${}P+Q=(x_{3},y_{3},1)\,$

ist. Die expliziten Formel für die Koordinaten der Summe liefern

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-r-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}}}\right)^{2}-r-x_{2}\\&={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t-2y_{1}y_{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}-r-x_{2},\end{aligned}}$

siehe Aufgabe. Die Summanden im Bruch haben die Form ${}x_{2},r,sx_{2}^{-1},cx_{2}^{-2}$ und ${}dy_{2}x_{2}^{-2}$, es ist ja ${}y_{1}$ fixiert. Die Höhe dieser ersten Terme kann man wegen Fakt jeweils durch eine Konstante mal ${}H(x_{2})^{2}$ nach oben abschätzen. Vom zuletzt genannten Term betrachten wir das Quadrat, also

${}{\frac {y_{2}^{2}}{x_{2}^{4}}}={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t}{x_{2}^{4}}}\,,$

und es geht wieder darum, die Höhe dieser Summanden nach oben abzuschätzen. Da die Summanden bis auf Konstanten die Form ${}x_{2}^{i}$ mit ${}i=-1,-2,-3,-4$ besitzen, haben wir insgesamt eine Abschätzung nach oben der Form ${}\leq C\cdot H(x_{2})^{4}$. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhalten wir wieder eine Abschätzung der gewünschten Form.

Zur bewiesenen Aussage