Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reelle Einbettung/Nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung


Es sei und wir betrachten die Gleichung

Unter werde auf und unter werde auf abgebildet. Die von den Einbettungen abhängigen reellen Gleichungen sind

bzw.

Im ersten Fall besitzt die rechte Seite drei reelle Nullstellen, im zweiten Fall nur eine. Daher besteht im ersten Fall die elliptische Kurve (siehe Aufgabe und Aufgabe) topologisch aus zwei reellen Zusammenhangskomponenten, also

und im zweiten Fall aus einer reellen Zusammenhangskomponente,

Im ersten Fall ist die Gruppe isomorph zu , im zweiten Fall einfach zur Kreisgruppe . Die Gruppen sind als abstrakte Gruppen nicht isomorph, da die -Torsionen verschieden sind.