Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektren als Funktor/Verschiedene Homomorphismen/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und zu einem ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen ${}K$-Algebren von endlichem Typ sei ${}\varphi ^{*}$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}P\colon R\rightarrow K$ ist die induzierte Spektrumsabbildung ${}P^{*}$ einfach die Abbildung, die dem einzigen Punkt ${}\{\operatorname {id} \}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K\right)}$ den Punkt ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zuordnet.
2. Der durch ein Element ${}F\in R$ definierte Einsetzungshomomorphismus

   $\varphi \colon K[T]\longrightarrow R,\,T\longmapsto F,$

   induziert die Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[T]\right)}={\mathbb {A} }_{K}^{1},\,P\longmapsto F(P).$

3. Zu einer surjektiven Abbildung ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ von ${}K$-Algebren von endlichem Typ ist die zugehörige Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

   eine abgeschlossene Einbettung, und zwar ist das Bild gleich ${}V(\ker(\varphi ))$.

4. Die zu einer surjektiven Abbildung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow S$ gehörende Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K-\operatorname {Spek} \,(K[X_{1},\ldots ,X_{n}])\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

   stimmt mit der in Fakt definierten Abbildung überein.

5. Es seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ für ${}i=1,\ldots ,m$ und es sei

   $\varphi \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{i}\longmapsto F_{i},$

   der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Dann stimmt die Spektrumsabbildung

   $\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\right)}$

   (über die Identifizierung aus Fakt) mit der direkten polynomialen Abbildung

   $(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$

   überein.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen