Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Dies ist eine Spezialisierung.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Wir fixieren ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Nach Voraussetzung gibt es einen ${}R_{\mathfrak {m}}$-Modulisomorphismus

$\varphi \colon {\left(R_{\mathfrak {m}}\right)}^{r}\longrightarrow M_{\mathfrak {m}}.$

Wir schreiben das Bild des ${}i$-ten Standardvektors ${}e_{i}$ als

${}\varphi {\left(e_{i}\right)}={\frac {m_{i}}{g_{i}}}\,$

mit ${}m_{i}\in M$ und ${}g_{i}\in R\setminus {\mathfrak {m}}$. Es sei ${}g=g_{1}{\cdots }g_{r}$ das Produkt der Nenner. Wir betrachten die Situation über ${}D(g)$. Der Isomorphismus ${}\varphi$ ist über ${}D(g)$ (auf ${}R_{g}$) definiert, d.h. wir haben einen ${}R_{g}$-Modulhomomorphismus

$\psi \colon {\left(R_{g}\right)}^{r}\longrightarrow M_{g},$

der in der Lokalisierung an ${}{\mathfrak {m}}$ den Isomorphismus ${}\varphi$ induziert. Allerdings ist ${}\psi$ im Allgemeinen kein Isomorphismus. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{s}$ ein Erzeugendensystem für den Modul ${}M$. Da ${}\psi$ auf ${}R_{\mathfrak {m}}$ eine Surjektion induziert, gibt es Elemente ${}u_{j}={\frac {a_{j}}{h_{j}}}\in {\left(R_{\mathfrak {m}}\right)}^{r}$, die nach ${}v_{j}$ abbilden. Die Nenner ${}h_{j}$ gehören nicht zu ${}{\mathfrak {m}}$, daher können wir ${}g$ durch ${}h=gh_{1}\cdots h_{s}$ ersetzen und erhalten

$\psi \colon {\left(R_{h}\right)}^{r}\longrightarrow M_{h}$

mit Elementen ${}u_{j}={\left(R_{h}\right)}^{r}$ derart, dass die ${}\psi (u_{j})$ in ${}M_{\mathfrak {m}}$ auf die Erzeuger ${}v_{j}$ einschränken. Dies bedeutet, dass es Elemente ${}p_{j}\notin {\mathfrak {m}}$ mit ${}p_{j}\psi (u_{j})=p_{j}v_{j}$ in ${}M_{h}$ gibt. Wenn man ${}h$ durch ${}p=hp_{1}\cdots p_{s}$ ersetzt, erhält man, dass ${}\psi$ ebenfalls surjektiv ist. Es sei ${}N$ der Kern von (diesem neuen) ${}\psi$. Da ${}\varphi$ injektiv ist, gilt ${}N_{\mathfrak {m}}=0$. Da ${}R$ noethersch ist, ist ${}N$ nach Fakt endlich erzeugt und so gibt es wiederum ein Element ${}f$, ${}f\notin {\mathfrak {m}}$, mit ${}N_{f}=0$. Indem wir weiter verkleinern erhalten wir einen Isomorphismus ${}\psi \colon {\left(R_{f}\right)}^{r}\rightarrow M_{f}$ für ein ${}f$, ${}f\notin {\mathfrak {m}}$.

Wir wissen also, dass es zu jedem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ eine offene Umgebung ${}{\mathfrak {m}}\in D{\left(f_{\mathfrak {m}}\right)}$ derart gibt, dass ${}M_{f_{\mathfrak {m}}}$ frei vom Rang ${}r$ ist. Daher enthält

$\bigcup _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideal }}}D{\left(f_{\mathfrak {m}}\right)}$

alle maximalen Ideale und auch alle Primideale, es liegt also eine offene Überdeckung von ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vor. Daher ist nach Fakt  (4) ${}{\left(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}\right)}$ das Einheitsideal, und dieses wird bereits von endlich vielen der ${}f_{\mathfrak {m}}$ erzeugt.
${}(3)\Rightarrow (4)$. Da die Elemente das Einheitsideal erzeugen, überdecken die zugehörigen offenen Mengen ${}D{\left(f_{j}\right)}$, ${}j=1,\ldots ,k$, das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Da ${}M_{f_{j}}$ freie ${}R_{f_{j}}$-Moduln vom Rang ${}r$ sind, liegen ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{D(f_{j})}$-Modulisomorphismen ${}{\widetilde {M}}{|}_{D(f_{j})}\cong {\widetilde {(R_{f_{j}})^{r}}}\cong {\mathcal {O}}_{D(f_{j})}^{r}$ vor. Daher ist ${}{\widetilde {M}}$ lokal frei.
${}(4)\Rightarrow (1)$. Sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein Primideal. Die lokale Freiheit bedeutet, dass wir eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart haben, dass die ${}{\widetilde {M}}{|}_{U_{i}}$ frei vom Rang ${}r$ sind. Somit gibt es einen Index ${}i$ mit ${}{\mathfrak {p}}\in U_{i}$. Indem wir zu einer eventuell kleineren offenen Umgebung von ${}{\mathfrak {p}}$ übergehen können wir ${}U_{i}=D{\left(f\right)}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ übergehen. Dabei gilt, dass ${}{\widetilde {M_{f}}}\cong {\widetilde {M}}{|}_{D(f)}$ frei vom Rang ${}r$ ist. Doch dann ist erst recht die Lokalisierung ${}M_{\mathfrak {p}}$ frei vom Rang ${}r$.

Zur bewiesenen Aussage