Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund des Basisergänzungssatzes kann man mit einem -Untervektorraum schreiben, und man hat eine Projektion (längs )

mit , wobei die Einbettung bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit ; dies ist eine Einheit in )

Für ist (wegen und da auf die Identität ist)

und das Bild von ist gleich , d.h. ist ebenfalls eine Projektion auf . Allerdings ist diese Projektion zusätzlich -verträglich. Für ist nämlich

Wir setzen nun . Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist nach Fakt ebenfalls -invariant, und es ist offenbar .