Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag ${}\lambda$ trägt als Linearfaktor ${}X-\lambda$ bei.

Für die Umkehrung seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und

${}\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Nach Fakt ist die Summe der Eigenräume

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\subseteq V\,$

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich ${}n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach Fakt ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

Zur bewiesenen Aussage