Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

gilt.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen