Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Beweis2

Beweis

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag ${}\lambda$ trägt als Linearfaktor ${}X-\lambda$ bei.

Für die Umkehrung seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und

${}\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Es seien

$v_{ij},\,j=1,\ldots ,\mu _{i},$

Basen der Eigenräume ${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}$ für ${}i=1,\ldots ,k$. Dies sind insgesamt ${}n$ Vektoren. Sei

${}\sum _{i,j}b_{ij}v_{ij}=0\,$

eine Darstellung der ${}0$. Mit

${}w_{i}:=\sum _{j=1}^{\mu _{i}}b_{ij}v_{ij}\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\,$

ergibt sich ${}\sum _{i=1}^{k}w_{i}=0$, wobei die ${}w_{i}$ aus den verschiedenen Eigenräumen sind. Nach Fakt sind diese Vektoren linear unabhängig, also müssen alle ${}w_{i}=0$ sein. Damit müssen auch alle

${}b_{ij}=0\,$

sein und die gewählten Basisvektoren der Eigenräume sind linear unabhängig. Daher bilden sie eine Basis.

Zur bewiesenen Aussage