Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben das charakteristische Polynom zu ${}\varphi$ als

${}\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}Q\,,$

wobei ${}(X-\lambda )$ in ${}Q$ nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. ${}k$ ist die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$. Dann sind ${}P=(X-\lambda )^{k}$ und ${}Q$ teilerfremd und nach Fakt ist dann

${}V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,$

und

$P(\varphi )={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{k}\colon \operatorname {kern} Q(\varphi )\longrightarrow \operatorname {kern} Q(\varphi )$

ist eine Bijektion. Es ist ferner

${}H:=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\operatorname {kern} P(\varphi )\,,$

wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von ${}X-\lambda$ wegen der eben erwähnten Bijektivität auf ${}\operatorname {kern} Q(\varphi )$ keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach Fakt die Beziehung

${}\chi _{\varphi }=\chi _{1}\cdot \chi _{2}\,,$

wobei ${}\chi _{1}$ das charakteristische Polynom zu ${}\varphi {|}_{H}$ und ${}\chi _{2}$ das charakteristische Polynom zu ${}\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$ ist. Da ${}(\varphi -\lambda )^{k}$ auf ${}H$ die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu ${}\varphi {|}_{H}$ und damit auch das charakteristische Polynom ${}\chi _{1}$ eine Potenz von ${}(X-\lambda )$, sagen wir

${}\chi _{1}=(X-\lambda )^{d}\,,$

wobei

${}d=\dim _{K}{\left(H\right)}\,$

sei. Insbesondere ist somit ${}d\leq k$, da ${}\chi _{1}$ ein Teiler von ${}\chi _{\varphi }$ ist. Bei ${}d<k$

müsste ${}\lambda$ eine Nullstelle von ${}\chi _{2}$ sein und ${}\lambda$ wäre ein Eigenwert von ${}\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass ${}P(\varphi )$ auf diesem Raum eine Bijektion ist.

Zur gelösten Aufgabe