Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe der Haupträume/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien die verschiedenen Eigenwerte von und

Diese Räume sind direkt nach Fakt. Das Minimalpolynom zu hat nach Fakt die Gestalt

Dabei ist

Wir setzen

Die haben keinen gemeinsamen Teiler, daher gibt es nach dem Lemma von Bezout Polynome mit

Wir setzen in diese Gleichung den Endomorphismus ein und erhalten

und speziell für jeden Vektor die Gleichheit

Wegen

ist

und damit auch

Somit zeigt die obige Gleichung, dass sich jeder Vektor als Summe mit Komponenten schreiben lässt.