Erzeugende Funktion/C/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Folge ${}a_{n}$ von komplexen Zahlen nennt man die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die erzeugende Funktion zur Folge.

Wenn die Potenzreihe gar nicht konvergiert, so existiert die erzeugende Funktion nur in einem formalen Sinn, als formale Potenzreihe. Die Sprechweise könnte auf den ersten Blick verwirrend sein, da man in der Definition mit einer beliebigen Folge startet und dazu die Potenzreihe bzw. die dadurch dargestellte Funktion betrachtet, also eher eine „erzeugte Funktion“. Es ist aber oft umgekehrt, dass die Potenzreihe zuerst da ist und durch sie eine enge Beziehung zwischen den Folgengliedern, nämlich den Koeffizienten der Reihe, bestimmt wird. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Potenzreihe eine rationale Funktion darstellt.

Beispiel

Zur konstanten Folge ${}a_{n}=1$ gehört als erzeugende Funktion die geometrische Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$. Diese stellt nach Fakt auf der offenen Einheitskreisscheibe die rationale Funktion ${}{\frac {1}{1-z}}$ dar.

Beispiel

Zur Folge der natürlichen Zahlen ${}a_{n}=n$ gehört als erzeugende Funktion die Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}$. Diese Reihe ist gleich ${}z$ mal der Ableitung der geometrischen Reihe, also gleich

${}z\cdot {\left(\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\right)}'=z\cdot {\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'\,.$

Wegen

${}{\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\,$

stellt die erzeugende Funktion zu den natürlichen Zahlen die rationale Funktion ${}{\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ dar.

Beispiel

Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Beispiel

Definition

Zu einer Folge ${}b_{n}$ von komplexen Zahlen nennt man die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}z^{n}$

bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die exponentiell erzeugende Funktion zur Folge.