Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}k$ ein Körper der Charakteristik ${}0$. Dann sind die ${}k$-Differentialoperatoren auf dem Körper der rationalen Funktionen ${}k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ gleich ${}\bigoplus _{\nu }k(X_{1},\ldots ,X_{d})\partial ^{\nu }$. Dies folgt aus der entsprechenden Beschreibung für den Polynomring und dem Verhalten von Differentialoperatoren bei Nenneraufnahme.

Lemma

Es sei

${}k(X_{1},\ldots ,X_{d})\subseteq L\,$

eine endliche separable Körpererweiterung.

Dann besitzt jeder Differentialoperator ${}\sum _{\nu }h_{\nu }\partial ^{\nu }$ auf ${}k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf ${}L$.

Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element liegt eine Erweiterung der Form

${}L=k(X_{1},\ldots ,X_{d})[T]/(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\,$

mit ${}f_{i}\in k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ vor. Die beschreibende Gleichung führt in ${}\Omega _{L{|}k}$ zur Gleichung

${}{\begin{aligned}0&=d(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\\&=nT^{n-1}dT+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +f_{1}dT+Tdf_{1}+df_{0}\\&=(nT^{n-1}+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}+\cdots +2f_{2}T+f_{1})dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +Tdf_{1}+df_{0}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}jf_{j}T^{j-1}\right)}dT+\sum _{j=0}^{n-1}T^{j}df_{j}.\end{aligned}}$

Dabei sind die ${}df_{j}$ als Kombination der ${}dX_{i}$ auszudrücken. Der Koeffizient vor ${}dT$ ist wegen der Separabilität nicht ${}0$ und somit kann man ${}dT$ als ${}L$-Linearkombination der ${}dX_{i}$ ausdrücken. Insbsondere ist

${}\Omega _{L{|}k}=\bigoplus _{i=1}^{d}LdX_{i}\,.$

Es folgt, dass die partiellen Ableitungen ${}\partial _{X_{i}}$ eine eindeutige Fortsetzung haben, und zwar wird jedes ${}g\in L$ auf die Koeffizientenfunktion zu ${}dg$ bezüglich ${}dX_{i}$ abgebildet.

Eine Hintereinanderschaltung ${}\partial ^{\nu }$ wird dann durch die Hintereinanderschaltung der einzelnen Fortsetzungungen fortgesetzt. Die Fortsetzbarkeit gilt dann auch für Multiplikationen mit Elementen und für Summen.

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Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung ${}K(X)\subseteq K(Y)$, die durch ${}Y^{n}=X$ ($n\geq 2$) gegeben ist. Es ist also ${}K(Y)=K(X)[Y]/(Y^{n}-X)$. Somit ist ${}nY^{n-1}dY=dX$ bzw. ${}dY={\frac {1}{nY^{n-1}}}dX$ und die partielle Ableitung ${}\partial _{X}$ setzt sich fort auf ${}K(Y)$ mit

${}\partial _{X}(Y)={\frac {1}{nY^{n-1}}}\,.$

Man beachte, dass das Ergebnis nicht im Polynomring ${}K[Y]$ liegt. Es gibt also keine Fortsetzung der Derivation

$\partial _{X}\colon K[X]\longrightarrow K[X]$

auf ${}K[Y]$. Wenn man die Gleichung

${}Y^{n}=X\,$

als

${}Y={\sqrt[{n}]{X}}=X^{\frac {1}{n}}\,$

interpretiert, so ist die obige berechnung eine algebraische Version der analytischen Ableitungsregel

${}\partial _{X}({\sqrt[{n}]{X}})=\partial _{X}(X^{\frac {1}{n}})={\frac {1}{n}}X^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{X^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{X^{\frac {n-1}{n}}}}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{{\left(X^{\frac {1}{n}}\right)}^{n-1}}}\,.$

Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}K=k(X,Y)\subseteq k(X,Y)[T]/(T^{3}+X^{3}+Y^{3})=L\,$

über einem Körper ${}k$ der Charakteristik ${}0$. Im Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{L{|}k}$ gilt

${}d(T^{3}+X^{3}+Y^{3})=3T^{2}dT+3X^{2}dX+3Y^{2}dY=0\,.$

Daher ist

${}dT=-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}dX-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}dY\,,$

was explizit einen ${}L$-Isomorphismus

$\Omega _{L{|}k}\longrightarrow LdX\oplus LdY$

ergibt. Für den ${}L$-Modul der ${}k$-Derivationen ergibt sich entsprechend

${}\operatorname {Der} _{k}{\left(L\right)}\cong L\partial _{X}\oplus L\partial _{Y}\,.$

Dabei ist

${}\partial _{X}(T)=-{\frac {X^{2}}{T^{2}}}\,,$

da ja generell ${}\partial _{X}$ ein Element ${}f\in L$ auf den Koeffizienten zu ${}dx$ von ${}df$ abbildet. Beispielsweise ist somit

${}\partial _{X}(T^{2})=2T\partial _{X}(T)=-2T{\frac {X^{2}}{T^{2}}}=-2{\frac {X^{2}}{T}}\,$

oder

${}\partial _{X}(T^{3})=3T^{2}\partial _{X}(T)=-3T^{2}{\frac {X^{2}}{T^{2}}}=-3X^{2}\,.$

Wegen

${}T^{3}=-X^{3}-Y^{3}\,$

kann man dies auch schon in ${}K(X,Y)$ ausrechnen.

Entsprechend kann man die Wirkungsweise von Differentialoperatoren höherer Ordnung bestimmen. Diese sind ja die Summe von Hintereinanderschaltungen von Derivationen und Multiplikationen. Es ist

${}\operatorname {Diff} _{k}^{n}{\left(k(X,Y)\right)}=\bigoplus _{\nu \,,\vert {\,\nu \,}\vert \leq n}L\partial ^{\nu }\,.$

Betrachten wir den Differentialoperator

${}E=T\partial _{X}\partial _{Y}-Y\partial _{X}^{2}\,.$

Es ist beispielsweise

${}{\begin{aligned}E{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}&={\left(T\partial _{X}\partial _{Y}-Y\partial _{X}^{2}\right)}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}\\&=T\partial _{X}\partial _{Y}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}-Y\partial _{X}^{2}{\left(X^{2}+YT-XT^{2}\right)}\\&=T\partial _{X}\partial _{Y}(YT)-T\partial _{X}\partial _{Y}(XT^{2})-2Y-Y\partial _{X}^{2}(YT)+Y\partial _{X}^{2}(XT^{2})\\&=T\partial _{X}(Y\partial _{Y}(T)+T)-2T\partial _{X}(XT\partial _{Y}(T))-2Y-Y^{2}\partial _{X}(\partial _{X}(T))+Y\partial _{X}(2XT\partial _{X}(T)+T^{2})\\&=...\end{aligned}}$

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung von Funktionenkörpern über einem Grundkörper ${}k$ der Charakteristik ${}0$.

Dann besitzt jeder Differentialoperator ${}E$ auf ${}K$ eine eindeutige Fortsetzung nach ${}L$.

Beweis

Funktionenkörper/Galoiserweiterung/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt/Beweis

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Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung von Funktionenkörpern über einem Grundkörper ${}k$ der Charakteristik ${}0$.

Dann ist ein Differentialoperator ${}E$ auf ${}L$ genau dann invariant, wenn er die Fortsetzung eines Operators auf ${}K$ ist.

Beweis

Wir fixieren einen Unterkörper ${}K(x_{1},\ldots ,x_{d})$, über dem ${}K$ und ${}L$ endlich und separabel sind. Die Differentialoperatoren auf ${}K$ haben die Gestalt ${}\sum _{\nu }h_{\nu }\partial ^{\nu }$ (bezüglich der partiellen Ableitungen zu den gegebenen Variablen) mit ${}h_{\nu }\in K$ und die Operatoren auf ${}L$ haben die Gestalt ${}\sum _{\nu }g_{\nu }\partial ^{\nu }$ mit ${}g_{\nu }\in L$. Nach Fakt ist ein Differentialoperator ${}E$ auf ${}L$ genau dann invariant, wenn seine Koeffizientenfunktionen alle zu ${}K$ gehören.

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