Glatte Kurven/Endlicher Morphismus/Punkt/Faserpunktanzahl/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass ${}R$ und ${}S$ glatte endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebren der Dimension ${}1$ sind, dass ${}R\subseteq S$ eine endlich freie Ringerweiterung vom Rang ${}n$ ist und dass ${}P$ dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ entspricht, ${}{\mathcal {O}}_{P}=R_{\mathfrak {m}}$. Es ist ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {m}}}$ die lokalisierte Version der Abbildung und

$K\cong R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$

die Restklasssenversion. Dabei ist ${}S\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ eine endlichdimensionale ${}K$-Algebra der Vektorraumdimension ${}n$ (und der Krulldimension ${}0$) und besitzt die Form ${}A_{1}\times \cdots \times A_{m}$ mit lokalen ${}K$-Algebren der Krulldimension ${}0$. Da ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von ${}A_{i}$ gleich ${}K$ und daher gibt es in der Faser genau dann ${}n$ Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage