Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Einführung/Textabschnitt


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative Gruppe. Eine -Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

mit -Untermoduln gibt derart, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung

gilt.

Eine einfache Überlegung zeigt, dass ist und dass somit eine -Unteralgebra von ist. Häufig spricht man einfach von einem -graduierten Ring . Statt kann man stets oder als Grundring wählen.

Bemerkung  

In einer -graduierten -Algebra besitzt jedes Element eine eindeutige Darstellung

wobei nur endlich viele der ungleich sein können. Die heißen dabei die homogenen Komponenten von , die heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von (oder -ten Stufen) und Elemente heißen homogen vom Grad . Die Gruppe heißt die graduierende Gruppe. Der Fall ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente und die Produkte kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring in Variablen über . Dieser ist in naheliegender Weise -graduiert. Man definiert für ein Monom den Grad durch und setzt als den -Modul aller Polynome an, die -Linearkombinationen von Monomen von Grad sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, so dass dadurch eine graduierte -Algebra entsteht. Es ist und für negativen Grad . Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring in Variablen über . Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach

Daher ist der Polynomring -graduiert, wobei die -te Stufe einfach aus allen -Vielfachen des Monoms

besteht. Die Stufen zu sind also isomorph zu , die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind . Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.



Beispiel  

Es sei ein Körper, und . Dann besitzt die Restklassenalgebra eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe , und zwar setzt man (wobei die Restklasse von sei)

Jedes Element kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad besitzt. Daher besitzt jedes eine Summendarstellung mit Summanden aus den . Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus , und dies ist gleich , falls ist, und andernfalls gleich . So oder so ist es ein Element aus .