Gruppenisomorpismen/Automorphismus/Einführung/Textabschnitt
Es seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Bijektive lineare Abbildungen sind insbesondere Gruppenisomorphismen.
Seien und Gruppen und sei
ein Gruppenisomorphismus.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus.
Dies folgt aus
Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also , und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also . Dann ist die Exponentialabbildung
ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes
Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.
Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen. Die Menge aller Automorphismen auf bildet mit der Hintereinanderschaltung eine Gruppe, die man mit bezeichnet und die die Automorphismengruppe zu nennt. Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen.
Diese Abbildung heißt auch die Konjugation mit . Wenn eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse.
Ein innerer Automorphismus ist in der Tat
ein Automorphismus.
Die Zuordnung
ist ein Gruppenhomomorphismus.
Es ist
sodass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen
ist einerseits
sodass bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung ein Gruppenhomomorphismus.
Zu einer fixierten invertierbaren Matrix ist die Konjugation
gerade diejenige Abbildung, die der beschreibenden Matrix zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis die beschreibende Matrix bezüglich einer neuen Basis zuordnet.