Hauptidealbereich/Teilbarkeitstheorie/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Bezout.


Es sei ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente eine Darstellung der .

Sei das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element mit . Wir behaupten, dass ein größter gemeinsamer Teiler der ist. Die Inklusionen zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei ein weiterer gemeinsamer Teiler der . Dann ist wieder , was wiederum bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus .

Im teilerfremden Fall ist .


Die folgende Kurzform wird auch oft als Lemma von Bezout bezeichnet.


Es sei ein Hauptidealbereich und seien teilerfremde Elemente.

Dann kann man die als Linearkombination von und darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.


Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.


Es sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .

Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente mit . Die Voraussetzung, dass das Produkt teilt, schreiben wir als . Damit gilt

was zeigt, dass ein Vielfaches von ist.



Es sei ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt irreduzibel, und nehmen wir an, dass das Produkt teilt, sagen wir . Nehmen wir an, dass kein Vielfaches von ist. Dann sind aber und teilerfremd, da eine echte Inklusionskette der Irreduzibilität von widerspricht. Damit teilt nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor .



In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

Angenommen, jede Zerlegung enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette , wobei ein nicht-trivialer Teiler von ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.