Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt
Lemma
Es sei eine kommutative -Algebra.
Dann wird der Kern der Multiplikation
als -Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in ) von den Ausdrücken erzeugt.
Beweis
Es sei , also in . Dann ist
Lemma
Es sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit einer Darstellung .
Dann wird der Kern der Multiplikation
als Ideal in von den Ausdrücken erzeugt.
Beweis
Nach Fakt müssen wir nur Ausdrücke der Form mit betrachten. Dabei können wir weiter annehmen, dass durch ein Monom
repräsentiert wird. Wir schreiben
Somit muss man nur noch die Potenzausdrücke in einer Variablen betrachten. Für diese gilt
Definition
Es sei eine kommutative -Algebra und . Dann nennt man die -lineare Abbildung
den universellen Differentialoperator der Ordnung .
Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar .
Lemma
Es sei eine kommutative -Algebra und .
Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung die Produktformel
für .
Beweis
Es ist
und dieses Element gehört zu , ist also gleich im Hauptteilmodul. Somit ist
Lemma
Es sei eine kommutative -Algebra und .
Dann ist der Hauptteilmodul kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen , , erzeugten -Modul, der den Identifizierungen
für und ,
für ,
genügt.
Beweis
Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als , wobei die kanonische Abbildung
bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen -Modulhomomorphismus
Die Abbildung
ist -bilinear und induziert damit einen -Modulhomomorphismus
Wegen der Produkteigenschaft von geht dabei auf (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen -Modulhomomorphismus
Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.