Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Injektiv/Fakt/Beweis2

Beweis

Es sei . Nach Fakt wird in einer offenen Kreisscheibenumgebung um durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben, die Einschränkung auf ist natürlich ebenfalls injektiv. Wir können und annehmen. Die Potenzreihe sei , und wir müssen zeigen. Nehmen wir also und an (die Nullfunktion ist nicht injektiv). Wir schreiben

mit einer holomorphen Funktion mit

Nach Fakt gibt es eine holomorphe Funktion mit . Dann ist . Wegen der Offenheit von und da die -te Potenzierung auf keiner offenen Umgebung der injektiv ist, folgt, dass nicht injektiv ist.