Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion , deren Taylorentwicklung der Ordnung mit der Taylorentwicklung der Ordnung von übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu ist. Wir können als mit

ansetzen. Wir betrachten die holomorphe Hilfsfunktion

für . Es ist

und somit auch

Wir arbeiten im Ring der holomorphen Funktionen im Punkt

und setzen

Das Ideal

können wir auch in auffassen, ist dort aber nicht maximal, wir bezeichnen es ebenfalls mit . Das maximale Ideal von sei . Es ist

Die Voraussetzung

gilt entsprechend auch in , also ergibt sich

Mit

und

gilt

Mit dem Lemma von Nakayama folgt und insbesondere

Somit gilt in einer offenen Umgebung des Nullpunktes von . Dies bedeutet, dass es holomorphe Funktionen auf mit

gibt. Das Intervall und

sei so, dass

gilt. Wir betrachten das holomorphe zeitabhängige Vektorfeld

auf . Nach Konstruktion gilt (das Vektorfeld als Derivation aufgefasst) . Da die zu gehören, ist im Raumpunkt die Raumkomponente des Vektorfeldes gleich . Für die zugehörige lokal einparametrige Gruppe

gilt insbesondere für alle . Die zugehörigen Diffeomorphismen respektieren also den Nullpunkt. Die Eigenschaft impliziert, dass die Funktion längs jeder Lösungskurve konstant ist. Daher ist

für alle , da dies für gilt. Somit transformiert der Diffeomorphismus die Funktion in die Funktion .