Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Einfach/Rangbedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}k$ der Rang der Hesse-Matrix von ${}f$ und ${}k\leq n-3$ angenommen. Dann ist ${}f$ nach Fakt rechtsäquivalent zu ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h(x_{k+1},\ldots ,x_{n})$ mit ${}h\in {\mathfrak {m}}^{3}$ und wobei ${}h$ von zumindest drei Variablen abhängt und das ebenfalls eine isolierte Singularität besitzt. Dieses ist nach Fakt nicht einfach. Aus Fakt folgt, dass dann auch ${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+h(x_{k+1},\ldots ,x_{n})$ nicht einfach ist.

Zur bewiesenen Aussage