Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen (${}n\geq 2$) und einem einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt ${}0\in U$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der Umgebungsrand ist eine kompakte reell-analytische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}2n-1$.
2. Der Diffeomorphietyp des Umgebungsrandes

   $f^{-1}(0)\cap S^{2n-1}(0,\delta )$

   hängt nicht von ${}\delta$ (hinreichend klein) ab.

3. ${}f^{-1}(0)\cap B\left(0,\delta \right)\setminus \{0\}$ ist eine reell ${}2n-2$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, wobei der Umgebungsrand der Rand.
4. ${}f^{-1}(0)\cap B\left(0,\delta \right)$ ist (topologisch) ein Kegel über dem Umgebungsrand.

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