Homomorphismenraum/Unterräume/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei ein direktes Komplement zu in , also

Es sei eine Basis von . Jede lineare Abbildung aus bildet auf ab, und auf bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist

und die Dimensionsaussage folgt aus Fakt.

(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung

von Fakt  (2) ist in diesem Fall injektiv und daher ist

(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei

eine direkte Summenzerlegung. Nach Fakt ist

und es ist

Daher ist die Dimension gleich

(4). Mit

ist . Daher folgt (4) aus (3).