(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei
ein
direktes Komplement
zu
in
, also
-

Es sei
eine Basis von
. Jede lineare Abbildung aus
bildet
auf
ab, und auf
bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist
-

und die Dimensionsaussage folgt aus
Fakt.
(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung
-
von
Fakt (2)
ist in diesem Fall injektiv und daher ist
-

(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei
-

eine direkte Summenzerlegung. Nach
Fakt
ist
-

und es ist
-

Daher ist die Dimension gleich
-

(4). Mit
-

ist
.
Daher folgt (4) aus (3).