Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt/Beweis

Beweis

Durch Betrachten des positiven und des negativen Teils kann man die Behauptung auf den Fall von nichtnegativen Funktionen und nichtnegativen Zahlen zurückführen. Wir behandeln die Additivität und die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation getrennt. Nach Fakt gibt es wachsende Folgen ${}f_{n}$ bzw. ${}g_{n}$ von messbaren einfachen Funktionen, die punktweise gegen ${}f$ bzw. ${}g$ konvergieren. Dann konvergiert auch ${}f_{n}+g_{n}$ wachsend und punktweise gegen ${}f+g$. Zwei einfache Funktionen ${}\alpha$ und ${}\beta$ können wir bezüglich einer geeigneten (endlichen) Zerlegung ${}C_{i}$, ${}i\in I$, von ${}M$ als ${}\alpha =\sum _{i\in I}a_{i}\cdot e_{C_{i}}$ und ${}\beta =\sum _{i\in I}b_{i}\cdot e_{C_{i}}$ schreiben. Damit gilt (bei ${}\alpha ,\beta$ messbar)

${}{\begin{aligned}\int _{M}(\alpha +\beta )\,d\mu &=\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\mu (C_{i})\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\mu (C_{i})+\sum _{i\in I}b_{i}\mu (C_{i})\\&=\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu +\int _{M}{\left(\sum _{i\in I}b_{i}\cdot e_{C_{i}}\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\alpha \,d\mu +\int _{M}\beta \,d\mu \end{aligned}}$

und die Verträglichkeit mit der Summe gilt für einfache Funktionen.
Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz und Fakt gilt

${}{\begin{aligned}\int _{M}(f+g)\,d\mu &=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}(f_{n}+g_{n})\,d\mu \right)}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu +\int _{M}g_{n}\,d\mu \right)}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}+\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}g_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}f\,d\mu +\int _{M}g\,d\mu .\end{aligned}}$

Der Beweis für die skalare Multiplikation verläuft ähnlich, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage