Integres Schema/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Schema ${}X$ heißt integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

Lemma

In einem integren Schema

sind die Restriktionsabbildungen

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X})$

zu ${}\emptyset \neq V\subseteq U\subseteq X$ injektiv.

Beweis

Sei ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ nicht ${}0$. Die Menge

${}X_{f}={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0\right\}}\,$

ist offen nach Fakt und wegen der Reduziertheit nicht leer. Wegen der Irreduzibilität von ${}X$ ist ${}X_{f}\cap V$ ebenfalls nicht leer und somit ist die Restriktion von ${}f$ auf ${}V$ ebenfalls nicht ${}0$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X,Y]/(X^{2},XY)$. Es ist ${}{\mathfrak {q}}=(X)$ das einzige minimale Primideal von ${}R$ und daher ist ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ irreduzibel. Wegen ${}Y\notin {\mathfrak {q}}$ und ${}XY=0$ gilt in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {q}}$ die Gleichheit ${}X=0$, und es ist

${}R_{\mathfrak {q}}=K[Y]_{(0)}=K(Y)\,$

ein Körper. Die Restriktionsabbildung ${}R\rightarrow R_{\mathfrak {q}}$ ist nicht injektiv. Es ist

${}D(X)=\emptyset \,,$

das Element ${}X$ ist aber in der Lokalisierung ${}R_{(X,Y)}$ nicht ${}0$.

Lemma

In einem integren Schema ${}X$ ist zu jeder nichtleeren offenen Menge ${}U\subseteq X$

der Schnittring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Integritätsbereich.

Beweis

Da ${}U$ offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge

${}V=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq U\,.$

Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass ${}R$ ein Integritätsbereich ist. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ das Nilradikal von ${}R$. Wegen der Irreduzibilität von ${}V$, die aus der Irreduzibilität von ${}X$ folgt, ist nach Fakt das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein Primideal. Da die Reduziertheit nach Fakt eine lokale Eigenschaft ist, gilt ${}{\mathfrak {a}}=0$. Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist ${}R$ ein Integritätsbereich.

$\Box$

Lemma

Zu einem integren Schema

ist der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt ein Körper.

Beweis

Den Halm kann man ausgehend von einer beliebigen nichtleeren affinen offenen Teilmenge ${}U$ bestimmen. Diese haben die Form ${}U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit einem kommutativen Ring ${}R$, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Der generische Punkt entspricht dabei dem Nullideal, und die Lokalisierung am Nullideal ergibt den Quotientenkörper von ${}R$.

$\Box$

Definition

Zu einem integren Schema nennt man den Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt den Funktionenkörper von ${}X$.

In einem integren Schema ist der Schnittring zu jeder nichtleeren offenen Menge ein Unterring des Funktionenkörpers.