Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Zusammenhang zu Riemann-Integral/Textabschnitt

Satz

Es sei

$f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.

Dann gilt

${}\int _{I}f\,d\lambda ^{1}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,.$

Beweis

Wir nehmen an, dass ${}f$ nichtnegativ ist. Es seien

$s,t\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine obere bzw. eine untere Treppenfunktion, wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der Monotonie des Maßes die Beziehung

${}\int _{I}s\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}f\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}t\,d\lambda ^{1}\,.$

Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen ${}s$ und ${}t$ sind dabei jeweils eine endliche disjunkte Vereinigung von (halboffenen) Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des Produktmaßes gleich dem Treppenintegral. Somit ist das Integral ${}\int _{I}f\,d\lambda ^{1}$ kleiner/gleich jedem oberen Treppenintegral und größer/gleich jedem unteren Treppenintegral von ${}f$. Diese Abschätzungen gelten dann auch für das Infimum der oberen Treppenintegrale bzw. das Supremum der unteren Treppenintegrale. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein.

$\Box$

Auf die Voraussetzung, dass die Riemann-integrierbare Funktion messbar ist, kann man dabei nicht verzichten.