Invariantentheorie/Integritätsbereich/Beziehung zur Galoistheorie/Bemerkung

Mit Fakt hängt die Invariantentheorie von Integritätsbereichen eng mit der Galoistheorie des Quotientenkörpers zusammen. In der Situation des Satzes ist bei endlichem ${}G$ die Körpererweiterung ${}K^{G}\subseteq K$ eine Galoiserweiterung, wie aus dem Satz von Artin folgt. ${}K^{G}$ ist ja gerade der Fixring unter den Körperautomorphismen zu ${}G$. Die Untergruppen ${}H\subseteq G$ liefern Zwischenkörper ${}K^{G}\subseteq M=K^{H}\subseteq K$ und ${}M\cap R=R^{H}$ ist der zugehörige Zwischenring (man darf aber nicht erwarten, dass es eine bijektive Korrespondenz zwischen Zwischenringen und Untergruppen gibt). Häufig besitzen Aussagen der Invariantentheorie stärkere Analoga aus der Galoistheorie. Zu Fakt  (3) vergleiche man etwa die Rückrichtung von Fakt  (1).

Es gibt aber auch erhebliche Unterschiede zwischen Invariantentheorie und Galoistheorie. Beispielsweise geht man in der klassischen Galoistheorie eher von einem Grundkörper ${}K$ aus und untersucht Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$ zusammen mit der ${}K$-Automorphismengruppe, während man in der klassischen Invariantentheorie eher mit dem Erweiterungsring anfängt und versucht, die Fixringe zu einer gewissen Operation zu bestimmen. Auch in der Invariantentheorie wird häufig ein Grundkörper ${}k$ vorausgesetzt, doch tritt dieser kaum als Invariantenring auf, sondern übernimmt die Rolle, dass alle beteiligten Ringe ${}k$-Algebren über diesem Körper und alle Ringhomomorphismen ${}k$-Algebrahomomorphismen sind. Beispielsweise ist die Bestimmung von Invariantenringen zum Polynomring ${}k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ zu (linearen) Gruppenoperationen schon ein riesiges Teilgebiet der Invariantentheorie.