Kähler-Differentiale/Schema/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}X$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Wir möchten eine Garbenversion des Moduls der Kählerdifferentiale definieren.

Lemma

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann gilt für jedes ${}f\in A$ die Gleichheit

${}{\left(\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}\right)},{\tilde {d}}\right)}={\left(\Omega _{A_{f}{|}R},d\right)}\,$

und für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Gleichheit

${}{\left({\left({\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}\right)}_{\mathfrak {p}},d_{\mathfrak {p}}\right)}={\left(\Omega _{A_{\mathfrak {p}}{|}R},d\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt in Verbindung mit Fakt.

$\Box$

Definition

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Dann versteht man unter der Garbe der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{X{|}S}$ denjenigen quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf ${}X$ zusammen mit einer Derivation über ${}p^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$

$d\colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X{|}S}$

derart, dass für jeden Punkt ${}P\in X$ die Bedingung

${}{\left({\left(\Omega _{X{|}S}\right)}_{P},d_{P}\right)}={\left(\Omega _{{\mathcal {O}}_{X,P}{|}{\mathcal {O}}_{S,p(P)}},d\right)}\,$

erfüllt ist.

Es ist zu zeigen, dass es ein solches Objekt in eindeutiger Weise gibt. Durch die Quasikohärenz muss zu jeder affinen Teilmenge ${}V=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq S$ und jeder affinen Teilmenge ${}U=\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\subseteq X$ mit ${}U\subseteq p^{-1}(V)$ der Modul auf ${}U$ mit ${}{\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}$ übereinstimmen. Im affinen Fall ist nach Fakt der Modul ${}{\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}$ das richtige Modell. Wenn ${}(\Omega ,d)$ ${}(\Omega ',d')$ zwei Modelle sind, so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft (zuerst auf den affinen Stücken und dann allgemein) einen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus

${\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}\longrightarrow \Omega '.$

Da dieser punktweise ein Isomorphismus ist, handelt es sich überhaupt um einen Isomorphismus. Insbesondere kann es nur eine solche Garbe geben. Wenn eine affine Überdeckung

${}S=\bigcup _{j\in J}V_{j}\,$

und dazu eine affine Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

mit ${}U_{i}\subseteq p^{-1}(V_{j})$ für ein ${}j=j(i)$ vorliegt, so kann man die ${}\Omega _{U_{i}{|}V_{j(i)}}$ miteinander verkleben, da die Einschränkungen auf affinen Stücken ${}U\subseteq U_{i}\cap U_{i'}$ über ${}V\subseteq V_{j(i)}\cap V_{j(i')}$ eindeutig bestimmt sind.

Definition

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Dann versteht man unter der Tangentialgarbe ${}{\mathcal {T}}_{X,S}$ den Dualmodul

${}{\mathcal {T}}_{X,S}=\Omega _{X{|}S}^{*}\,.$

Es ist also

${}{\mathcal {T}}_{X,S}=\Omega _{X{|}S}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left(\Omega _{X{|}S},{\mathcal {O}}_{X}\right)}={\mathcal {Der}}{\left({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,,$

wobei die letzte Gleichheit auf der universellen Eigenschaft der Kähler-Differentiale beruht. Entsprechend nennt man die Garbe der Kähler-Differentiale auch die Kotangentialgarbe.