K-Spektrum/D(f)/Eigenschaften/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra, ${}f\in R$.

Dann ist die Zariski-offene Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ in natürlicher Weise homöomorph zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$.

Beweis

Wir betrachten die zum ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow R_{f}$ gehörende Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi ,$

die nach Fakt stetig ist. Es ist ${}f(P\circ \varphi )=P(\varphi (f))\neq 0$, da ja ${}f$ in ${}R_{f}$ eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von ${}\varphi ^{*}$ in ${}D(f)$.
Es sei ${}Q\in D(f)$ irgendein Punkt, d.h. ${}Q$ ist ein ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}Q\colon R\rightarrow K$ mit ${}Q(f)\neq 0$. Dann ist ${}Q(f)$ eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe) zu einem Homomorphismus von ${}R_{f}$ nach ${}K$ fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist ${}\varphi ^{*}$ als Abbildung nach ${}D(f)$ surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei ${}K$-Algebrahomomorphismen

$P_{1},P_{2}\colon R_{f}\longrightarrow K$

gegeben, deren Verknüpfungen mit

$R\longrightarrow R_{f}$

übereinstimmen. Wegen

${}P_{1}{\left({\frac {r}{f^{s}}}\right)}=P_{1}(rf^{-s})=P_{1}(r)P_{1}(f^{s})^{-1}\,$

und ebenso für ${}P_{2}$ ist dann aber ${}P_{1}=P_{2}$.
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$ von ${}D(g)$, ${}g\in R_{f}$, überdeckt werden. Dabei kann man ${}g\in R$ annehmen, da ${}f$ eine Einheit in ${}R_{f}$ ist. Dann ist aber dieses ${}D(g)$ gleich ${}(\varphi ^{*})^{-1}(D(gf))$, wo letzteres ${}D(gf)$ die offene Menge in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.

$\Box$

Bemerkung  

Fakt besagt insbesondere, dass eine offene Menge ${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ selbst das ${}K$-Spektrum einer endlich erzeugten ${}K$-Algebra ist (nämlich von ${}R_{f}$, das über ${}R$ von ${}1/f$ erzeugt wird), und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,$

(siehe Aufgabe) erhält man eine solche Realisierung. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Dann liefert der surjektive Ringhomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]\longrightarrow (K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T]\longrightarrow ((K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T])/(Tf-1)\cong R_{f}$

eine (nach Fakt  (3)) abgeschlossene Einbettung von ${}D(f)$ in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$. Ist ${}\psi$ die Gesamtinklusion

${}D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$

so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als

$\psi \times {\frac {1}{f}}\colon D(f)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.

Beispiel

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung die offene Menge

${}D(X)={\left\{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}\mid P\neq 0\right\}}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}\,.$

Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist ${}X$ invertierbar, d.h. die rationale Funktion ${}{\frac {1}{X}}$ ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion ${}D(X)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ die abgeschlossene Inklusion

$D(X)\longrightarrow V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,x\longmapsto \left(x,\,{\frac {1}{x}}\right),$

dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich ${}K[X]_{X}=K[X,X^{-1}$ und ${}K[X,Y]/(XY-1)$, sind isomorph).