Knoten/R^3/Äquivalenz/Einführung/Textabschnitt

Manchmal beschränkt man sich auf stetig differenzierbar eingebettete Kreise.

Links ein Schnürsenkelknoten, rechts ein mathematischer Knoten. Durch die Verbindung der Schnürsenkelenden merkt man sich die eigentliche Verknotung besser.

Definition

Unter einem Knoten versteht man eine topologische Einbettung der ${}1$-Sphäre in den Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$

Definition

Zwei Knoten ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ heißen äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung

$\Psi \colon [0,1]\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

derart gibt, dass für jedes ${}t$ die Abbildung ${}\Psi _{t}$ ein Homöomorphismus des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist, dass ${}\Psi _{0}$ die Identität ist und dass

${}\Psi _{1}(K_{1})=K_{2}\,$

ist.

Die Bildknoten ${}\Psi _{t}(K_{1})$ beschreiben dabei eine stetige Deformation des ersten Knoten in den zweiten Knoten mit dem Zeitparameter ${}t$.

Ein trivialer Knoten, der ziemlich, aber nicht völlig trivial aussieht.

Definition

Ein Knoten ${}K$, der zum Knoten

${}{\left\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

äquivalent ist, heißt trivial.

Streng genommen meint man die Standardeinbettung dieses Knotens, also di Abbildung

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,s\longmapsto \left(\cos 2\pi s,\,\sin 2\pi s,\,0\right),$

doch ist jeder andere Durchlauf dazu äquivalent.