Diese Seite zum Thema Kombinatorik kann als Wiki2Reveal Folien Kurs Stochastik .
Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.
Diese Lernressource zu Thema Kombinatorik in der Wikiversity hat das Ziel, die grundlegenden Urnenmodelle als Grundwerkzeug zu Anzahlbestimmung von Mengen kennen zu lernen und diese auf in einem weiteren Schritt auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeitsverteilung anzuwenden.
Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
(1) grundlegende Urnenmodelle
(2) hypergeometrische Verteilung, ... als Anwendung von einem Urnenmodell
(3) Zufallsgrößen und kombinatorische Anzahlbestimmung von günstigen und möglichen Ereignissen.
Die abzählende Kombinatorik [ 1] Kombinatorik . Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen.
(Zurücklegen) „mit“ bzw. „ohne“ Zurücklegen der gezogenen Objekte sowie(Reihenfolge) „mit“ bzw. „ohne“ Beachtung ihrer Reihenfolge (d. h. „geordnet“ bzw. „ungeordnet“).In einer Urne befinden sich
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
k
1
,
…
,
k
n
{\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}
k
i
∈
N
0
{\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} _{0}}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}
Bearbeiten
Es werden
k
{\displaystyle k}
(
ω
1
,
…
,
ω
k
)
∈
Ω
{\displaystyle (\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \Omega }
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
Ω
:=
{
1
,
…
,
n
}
k
{\displaystyle \Omega :=\{1,\ldots ,n\}^{k}}
|
Ω
|
=
n
k
{\displaystyle |\Omega |=n^{k}}
Bearbeiten
Die Urne enthält 10 Kugel. Es werden mit
k
{\displaystyle k}
(
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
)
∈
Ω
{\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})\in \Omega }
(
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
)
=
(
7
,
7
,
5
)
∈
Ω
{\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})=(7,7,5)\in \Omega }
Ω
:=
{
1
,
…
,
10
}
3
{\displaystyle \Omega :=\{1,\ldots ,10\}^{3}}
|
Ω
|
=
10
3
=
1000
{\displaystyle |\Omega |=10^{3}=1000}
Bearbeiten
Es werden
k
{\displaystyle k}
(
ω
1
,
…
,
ω
k
)
∈
Ω
{\displaystyle (\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \Omega }
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
Ω
:=
{
(
ω
1
,
…
,
ω
k
)
∈
{
1
,
…
,
n
}
k
|
∀
i
,
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
,
i
≠
j
:
ω
i
≠
ω
j
}
{\displaystyle \Omega :=\{(\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \{1,\ldots ,n\}^{k}\,|\,\forall _{i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\not =j}\,:\,\omega _{i}\not =\omega _{j}\}}
|
Ω
|
:=
(
n
k
)
⋅
k
!
=
n
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle |\Omega |:={n \choose k}\cdot {k!}={\frac {n!}{\left(n-k\right)!}}}
Bearbeiten
In der obigen Notation von
Ω
{\displaystyle \Omega }
k
{\displaystyle k}
(
ω
1
,
…
,
ω
k
)
∈
Ω
{\displaystyle (\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \Omega }
i
,
j
,
i
≠
j
{\displaystyle i,j,\,i\not =j}
Ω
:=
{
(
ω
1
,
…
,
ω
k
)
∈
{
1
,
…
,
n
}
k
|
∀
i
,
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
,
i
≠
j
:
ω
i
≠
ω
j
}
{\displaystyle \Omega :=\{(\omega _{1},\ldots ,\omega _{k})\in \{1,\ldots ,n\}^{k}\,|\,\forall _{i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\not =j}\,:\,\omega _{i}\not =\omega _{j}\}}
|
Ω
|
:=
(
n
k
)
⋅
k
!
=
n
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle |\Omega |:={n \choose k}\cdot {k!}={\frac {n!}{\left(n-k\right)!}}}
Bearbeiten
Von 10 gestarteten Marathonläufer:innen mit den Startnummern 1 bis 10 kommen 4 ins Ziel. Wenn man kombinatorischen Möglichkeiten für den Zieleinlauf angeben möchte, kann man das wie folgt berechnen.
Ω
:=
{
(
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
,
ω
4
)
∈
{
1
,
…
,
10
}
4
|
∀
i
,
j
∈
{
1
,
…
,
10
}
,
i
≠
j
:
ω
i
≠
ω
j
}
{\displaystyle \Omega :=\{(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4})\in \{1,\ldots ,10\}^{4}\,|\,\forall _{i,j\in \{1,\ldots ,10\},i\not =j}\,:\,\omega _{i}\not =\omega _{j}\}}
|
Ω
|
:=
(
10
4
)
⋅
4
!
=
10
!
(
10
−
4
)
!
=
10
⋅
9
⋅
8
⋅
7
{\displaystyle |\Omega |:={10 \choose 4}\cdot 4!={\frac {10!}{\left(10-4\right)!}}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}
Bearbeiten
Es werden
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
{
a
,
c
,
d
}
{\displaystyle \{a,c,d\}}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
Ω
3
:=
{
A
⊂
{
1
,
…
,
n
}
|
|
A
|
=
k
}
{\displaystyle \Omega _{3}:=\{A\subset \{1,\ldots ,n\}\,|\,|A|=k\}}
|
Ω
3
|
:=
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle |\Omega _{3}|:={n \choose k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}}
Bearbeiten
Es werden
6
{\displaystyle 6}
n
{\displaystyle n}
{
a
,
c
,
d
}
{\displaystyle \{a,c,d\}}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
Ω
3
:=
{
A
⊂
{
1
,
…
,
n
}
|
|
A
|
=
k
}
{\displaystyle \Omega _{3}:=\{A\subset \{1,\ldots ,n\}\,|\,|A|=k\}}
|
Ω
3
|
:=
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle |\Omega _{3}|:={n \choose k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}}
Mit einem Lottoschein kann man verschieden Tipps bzgl. einer Auswahl der 6 Kugeln aus den 49 Kugel auswählen.
Bearbeiten
Es wird mit den
ω
1
,
…
,
ω
n
{\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}
n
{\displaystyle n}
G
{\displaystyle G}
Tupel
(
0
,
3
,
2
,
0
)
{\displaystyle (0,3,2,0)}
G
=
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle G=\{a,b,c,d\}}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
a
,
d
{\displaystyle a,d}
Verwendet man Kugeln mit Nummern von
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
Man betrachtet nun die n-Tupel in
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
:=
{
(
ω
1
,
…
,
ω
n
)
∈
N
0
n
|
∑
i
=
1
n
ω
i
=
k
}
{\displaystyle \Omega :=\left\{(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}\,\left|\,\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}=k\right.\right\}}
|
Ω
|
:=
(
n
−
1
+
k
n
−
1
)
=
(
n
−
1
+
k
)
!
k
!
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle |\Omega |:={n-1+k \choose n-1}={\frac {(n-1+k)!}{k!\left(n-1\right)!}}}
Man betrachtet nun eine Grundmenge
M
:=
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle M:=\{a,b,c,d\}}
n
=
4
{\displaystyle n=4}
Da es nicht auf die Reihenfolge ankommt, werden die gezogenen Elemente mit gleichem Buchstaben zusammengefasst, z.B. mit
k
=
10
{\displaystyle k=10}
(
a
,
a
,
a
,
a
,
b
,
d
,
d
,
d
,
d
,
d
)
{\displaystyle (a,a,a,a,b,d,d,d,d,d)}
Nun erweitert man das Tupel um
n
−
1
{\displaystyle n-1}
(
a
,
a
,
a
,
a
,
Δ
,
b
,
Δ
,
Δ
,
d
,
d
,
d
,
d
,
d
)
{\displaystyle (a,a,a,a,\Delta ,b,\Delta ,\Delta ,d,d,d,d,d)}
Positionen der Trennstellen werden mit Nummer belegt und z.B. die Trennstellen
{
5
,
7
,
8
}
{\displaystyle \{5,7,8\}}
Bei
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
{\displaystyle k}
n
−
1
+
k
{\displaystyle n-1+k}
(
n
−
1
+
k
n
−
1
)
=
(
n
+
k
−
1
k
)
=
(
n
+
k
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
⋅
k
!
{\displaystyle {n-1+k \choose n-1}={n+k-1 \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot k!}}}
In der Literatur findet man oft den zweiten Binomialkoeffizient als Anzahl der Möglichkeiten. Für die Trennstellenherleitung wird der erste Binomalkoeffizient verwendet.
Urnenmodelle und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bearbeiten
Die hier dargestellten Urnenmodelle sind insbesondere hilfreich, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu berechnen. In dem folgenden Beispiel wird aus einer Urne mit
n
{\displaystyle n}
Ω
:=
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \Omega :=\{1,...,n\}}
k
{\displaystyle k}
Ω
1
:=
{
1
,
.
.
.
,
k
}
{\displaystyle \Omega _{1}:=\{1,...,k\}}
Ω
2
:=
{
k
+
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \Omega _{2}:=\{k+1,...,n\}}
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
In einer Urne befinden sich
N
=
S
+
W
{\displaystyle N=S+W}
S
{\displaystyle S}
W
{\displaystyle W}
n
≤
N
{\displaystyle n\leq N}
n
{\displaystyle n}
0
≤
s
≤
n
{\displaystyle 0\leq s\leq n}
A
s
{\displaystyle A_{s}}
s
{\displaystyle s}
h
(
s
;
n
,
N
,
S
)
{\displaystyle h(s;n,N,S)}
A
s
{\displaystyle A_{s}}
h
(
s
;
n
,
N
,
S
)
,
s
=
0
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle h(s;n,N,S),s=0,...,n}
hypergeometrische Verteilung mit Paramtern
n
,
N
,
S
{\displaystyle n,N,S}
Ω
′
=
{
0
,
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \Omega '=\lbrace 0,1,...,n\rbrace }
Für
n
≤
N
{\displaystyle n\leq N}
S
≤
N
{\displaystyle S\leq N}
h
(
s
;
n
,
N
,
S
)
=
(
S
s
)
(
N
−
S
n
−
s
)
(
N
n
)
;
s
=
0
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle h(s;n,N,S)={\frac {{\binom {S}{s}}{\binom {N-S}{n-s}}}{\binom {N}{n}}};s=0,...,n}
Sei
Ω
{\displaystyle \Omega }
{
a
1
,
.
.
.
,
a
n
}
{\displaystyle \lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace }
{
1
,
.
.
.
,
N
}
{\displaystyle \lbrace 1,...,N\rbrace }
P
{\displaystyle P}
Ω
{\displaystyle \Omega }
|
Ω
|
=
C
N
n
=
(
N
n
)
{\displaystyle |\Omega |=C_{N}^{n}={\binom {N}{n}}}
S
{\displaystyle S}
1
,
.
.
.
,
S
{\displaystyle 1,...,S}
N
−
S
=
W
{\displaystyle N-S=W}
S
+
1
,
.
.
.
,
N
{\displaystyle S+1,...,N}
A
k
⊂
Ω
{\displaystyle A_{k}\subset \Omega }
{
a
1
,
.
.
.
,
a
n
}
{\displaystyle \lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace }
s
{\displaystyle s}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
Ω
1
=
{
1
,
.
.
.
,
S
}
{\displaystyle \Omega _{1}=\lbrace 1,...,S\rbrace }
Heuristisch: Es gibt
(
S
s
)
{\displaystyle {\binom {S}{s}}}
s
{\displaystyle s}
S
{\displaystyle S}
[
(
N
−
S
n
−
s
)
{\displaystyle [{\binom {N-S}{n-s}}}
n
−
s
{\displaystyle n-s}
N
−
S
{\displaystyle N-S}
Jede Kombination einer der
(
S
s
)
{\displaystyle {\binom {S}{s}}}
(
N
−
S
n
−
s
)
{\displaystyle {\binom {N-S}{n-s}}}
A
s
{\displaystyle A_{s}}
|
A
s
|
=
(
S
s
)
(
N
−
S
n
−
s
)
{\displaystyle |A_{s}|={\binom {S}{s}}{\binom {N-S}{n-s}}}
P
(
A
n
)
=
|
A
s
|
|
Ω
|
{\displaystyle P(A_{n})={\frac {|A_{s}|}{|\Omega |}}}
Im Spezialfall
n
=
s
=
S
{\displaystyle n=s=S}
h
=
(
S
;
S
,
N
,
S
)
=
(
S
S
)
⋅
(
N
−
S
N
−
S
)
(
N
S
)
=
1
(
N
S
)
.
{\displaystyle h=(S;S,N,S)={\frac {{\binom {S}{S}}\cdot {\binom {N-S}{N-S}}}{\binom {N}{S}}}={\frac {1}{\binom {N}{S}}}.}
Aus einer Sendung von
N
=
10000
{\displaystyle N=10000}
S
{\displaystyle S}
n
=
100
{\displaystyle n=100}
100
{\displaystyle 100}
s
{\displaystyle s}
s
{\displaystyle s}
h
(
s
;
100
,
10000
,
S
)
{\displaystyle h(s;100,10000,S)}
oder
∑
k
=
0
s
h
(
k
;
100
,
10000
,
S
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{s}h(k;100,10000,S)}
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Austeilen der
N
=
32
{\displaystyle N=32}
A
{\displaystyle A}
n
=
10
{\displaystyle n=10}
k
=
3
[
k
=
4
]
{\displaystyle k=3[k=4]}
S
=
4
{\displaystyle S=4}
h
(
3
;
10
,
32
,
4
)
=
(
4
3
)
(
28
7
)
(
32
10
)
≈
0
,
073
≈
1
14
{\displaystyle h(3;10,32,4)={\frac {{\binom {4}{3}}{\binom {28}{7}}}{\binom {32}{10}}}\approx 0,073\approx {\frac {1}{14}}}
[
h
(
4
;
10
,
32
,
4
)
=
(
4
4
)
(
28
6
)
(
32
10
)
=≈
0
,
0058
≈
1
172
]
{\displaystyle [h(4;10,32,4)={\frac {{\binom {4}{4}}{\binom {28}{6}}}{\binom {32}{10}}}=\approx 0,0058\approx {\frac {1}{172}}]}
Skatbeispiel - Zerlegung der Grundmenge
Bearbeiten
Die Zerlegung der Grundmenge
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
In der Lerneinheit zu Zufallsvariablen traten zwei Wahrscheinlichkeitsräume auf:
Ω
{\displaystyle \Omega }
n
{\displaystyle n}
{
1
,
.
.
.
,
X
}
{\displaystyle \lbrace 1,...,X\rbrace }
P
{\displaystyle P}
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
′
=
{
0
,
1
,
.
.
.
,
n
}
,
P
′
{\displaystyle \Omega '=\lbrace 0,1,...,n\rbrace ,P'}
k
∈
Ω
′
{\displaystyle k\in \Omega '}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
w
=
{
a
1
,
.
.
.
,
a
n
}
∈
Ω
:
X
:
Ω
→
Ω
′
,
w
→
X
(
w
)
=
|
w
∩
{
1
,
.
.
.
,
S
}
|
{\displaystyle w=\lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace \in \Omega :X:\Omega \to \Omega ',w\to X(w)=|w\cap \lbrace 1,...,S\rbrace |}
Das in der Lerneinheit zu Zufallsvariablen auftretende Ereignis
A
k
{\displaystyle A_{k}}
A
k
=
{
w
∈
Ω
:
X
(
w
)
=
k
}
=
X
−
1
(
{
k
}
)
{\displaystyle A_{k}=\lbrace w\in \Omega :X(w)=k\rbrace =X^{-1}(\lbrace k\rbrace )}
{
k
}
{\displaystyle \lbrace k\rbrace }
Durch die Definition
P
′
(
{
k
}
)
=
P
(
{
w
:
X
(
w
)
=
k
}
)
=
P
(
X
−
1
(
{
k
}
)
)
,
k
∈
Ω
{\displaystyle P'(\lbrace k\rbrace )=P(\lbrace w:X(w)=k\rbrace )=P(X^{-1}(\lbrace k\rbrace )),k\in \Omega }
erhalten wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
Für beliebige Ereignisse
A
′
∈
Ω
{\displaystyle A'\in \Omega }
P
′
(
A
′
)
=
P
(
{
w
:
X
(
w
)
∈
A
′
}
)
=
P
(
X
−
1
(
A
′
)
)
.
{\displaystyle P'(A')=P(\lbrace w:X(w)\in A'\rbrace )=P(X^{-1}(A')).}
Sei
P
{\displaystyle P}
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
eine Abbildung
X
:
Ω
→
Ω
′
{\displaystyle X:\Omega \to \Omega '}
Die durch
P
′
(
A
′
)
=
P
(
X
−
1
(
A
′
)
)
{\displaystyle P'(A')=P(X^{-1}(A'))}
A
′
∈
Ω
′
{\displaystyle A'\in \Omega '}
S
′
{\displaystyle {\mathcal {S}}'}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
P
{\displaystyle P}
X
{\displaystyle X}
(
Ω
,
S
,
P
)
⟶
X
(
Ω
′
,
S
′
,
P
′
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P){\stackrel {X}{\longrightarrow }}(\Omega ',{\mathcal {S}}',P')}
(
Ω
′
,
S
′
,
P
′
)
⟶
X
−
1
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {S}}',P'){\stackrel {X^{-1}}{\longrightarrow }}(\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
Bearbeiten
Mit dem in b) definierten
P
′
{\displaystyle P'}
(
Ω
′
,
S
′
,
P
′
)
{\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {S}}',P')}
Es ist zu zeigen, dass
P
′
{\displaystyle P'}
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
A
:=
X
−
1
(
A
′
)
∈
S
{\displaystyle A:=X^{-1}(A')\in {\mathcal {S}}}
P
′
(
A
′
)
=
P
(
X
−
1
(
A
′
)
)
=
P
(
A
)
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle P'(A')=P(X^{-1}(A'))=P(A)\in [0,1]}
Normierung:
P
′
(
Ω
′
)
=
P
(
X
−
1
(
Ω
′
)
)
=
P
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle P'(\Omega ')=P\left(X^{-1}(\Omega ')\right)=P(\Omega )=1}
σ
{\displaystyle \sigma }
A
1
′
,
A
2
′
,
.
.
.
{\displaystyle A_{1}',A_{2}',...}
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
X
−
1
(
A
i
′
)
∩
X
−
1
(
A
j
′
)
=
X
−
1
(
A
i
′
∩
A
j
′
)
=
∅
{\displaystyle X^{-1}(A'_{i})\cap X^{-1}(A_{j}')=X^{-1}(A_{i}'\cap A_{j}')=\varnothing }
Ferner gilt für die Urbildfunktion:
X
−
1
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
′
)
=
⋃
i
=
1
∞
X
−
1
(
A
i
′
)
{\displaystyle X^{-1}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}'\right)=\bigcup _{i=1}^{\infty }X^{-1}(A_{i}')}
Dies gilt auch für beliebige Schnitte und Vereinigungen bzgl. des Urbilds einer Funktion.
Dann folgt:
P
′
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
′
)
=
P
(
X
−
1
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
′
)
)
=
P
(
⋃
i
=
1
∞
X
−
1
(
A
i
′
)
)
{\displaystyle P'\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}'\right)=P\left(X^{-1}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}'\right)\right)=P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }X^{-1}(A_{i}')\right)}
=
∑
i
=
1
∞
P
(
X
−
1
(
A
i
′
)
)
=
∑
i
=
1
∞
P
′
(
A
i
′
)
{\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infty }P(X^{-1}(A_{i}'))=\sum _{i=1}^{\infty }P'(A_{i}')}
Bearbeiten
Die durch
P
′
(
A
′
)
:=
P
(
X
−
1
(
A
′
)
)
,
A
′
∈
S
′
{\displaystyle P'(A'):=P(X^{-1}(A')),A'\in {\mathcal {S}}'}
P
′
{\displaystyle P'}
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
X
{\displaystyle X}
P
X
{\displaystyle P^{X}}
X
{\displaystyle X}
P
′
{\displaystyle P'}
X
−
1
(
A
′
)
≡
{
w
;
X
(
w
)
∈
A
′
}
{\displaystyle X^{-1}(A')\equiv \lbrace w;X(w)\in A'\rbrace }
{
X
∈
A
′
}
{\displaystyle \lbrace X\in A'\rbrace }
X
{\displaystyle X}
A
′
{\displaystyle A'}
P
X
(
A
′
)
=
P
(
X
−
1
(
A
′
)
)
{\displaystyle P^{X}(A')=P(X^{-1}(A'))}
P
(
X
∈
A
′
)
{\displaystyle P(X\in A')}
X
{\displaystyle X}
A
′
{\displaystyle A'}
Die zu
P
′
≡
P
X
{\displaystyle P'\equiv P_{X}}
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
w
→
P
X
(
{
w
′
}
)
=
P
(
X
=
w
′
)
{\displaystyle w\to P_{X}(\lbrace w'\rbrace )=P(X=w')}
Zu jedem Wahrscheinlichkeitsraum
(
Ω
,
S
(
Ω
)
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}}(\Omega ),P)}
I
d
:
Ω
→
Ω
,
w
→
I
d
(
w
)
=
w
{\displaystyle Id:\Omega \to \Omega ,w\to Id(w)=w}
Ω
′
=
Ω
,
P
′
=
P
{\displaystyle \Omega '=\Omega ,P'=P}
Im Fall
Ω
′
⊂
R
{\displaystyle \Omega '\subset \mathbb {R} }
Ω
=
R
+
{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{+}}
w
{\displaystyle w}
X
:
Ω
→
R
{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
Ω
⊂
R
k
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{k}}
Bearbeiten
Da Zufallsvariablen reellwertige Funktionen sind, kann man mit ihnen üblicherweise Rechnen:
(
X
+
Y
)
(
w
)
=
X
(
w
)
+
Y
(
w
)
{\displaystyle (X+Y)(w)=X(w)+Y(w)}
(
X
⋅
Y
)
(
w
)
=
X
(
w
)
⋅
Y
(
w
)
{\displaystyle (X\cdot Y)(w)=X(w)\cdot Y(w)}
(
e
X
)
(
w
)
=
e
X
(
w
)
{\displaystyle (e^{X})(w)=e^{X(w)}}
|
X
|
(
w
)
=
|
X
(
w
)
|
{\displaystyle |X|(w)=|X(w)|}
n
{\displaystyle n}
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
Ω
=
{
1
,
.
.
.
,
6
}
n
=
{
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
:
a
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
6
}
}
,
P
{\displaystyle \Omega ={\lbrace 1,...,6\rbrace }^{n}=\lbrace (a_{1},...,a_{n}):a_{i}\in \lbrace 1,...,6\rbrace \rbrace ,P}
Ω
{\displaystyle \Omega }
X
:
Ω
→
Ω
′
=
{
0
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle X:\Omega \to \Omega '=\lbrace 0,...,n\rbrace }
X
(
w
)
=
|
{
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
:
a
i
=
6
}
|
{\displaystyle X(w)=|\lbrace i\in \lbrace 1,...,n\rbrace :a_{i}=6\rbrace |}
Behauptung:
P
X
(
{
k
}
)
≡
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
(
1
6
)
k
(
5
6
)
n
−
k
,
k
=
0
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle P^{X}(\lbrace k\rbrace )\equiv P(X=k)={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{k}\left({\frac {5}{6}}\right)^{n-k},k=0,...,n}
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \lbrace 1,...,n\rbrace }
P
k
=
(
n
k
)
p
k
⋅
(
1
−
p
)
n
−
k
,
k
=
0
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle P_{k}={\binom {n}{k}}p^{k}\cdot (1-p)^{n-k},k=0,...,n}
heißt Binomialverteilung mit den Parametern
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
X
{\displaystyle X}
B
(
n
,
1
6
)
{\displaystyle B(n,{\frac {1}{6}})}
Sei
A
⊂
Ω
{\displaystyle A\subset \Omega }
I
A
:
Ω
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle I_{A}:\Omega \to \lbrace 0,1\rbrace }
I
A
(
w
)
=
{
1
,
w
∈
A
0
,
w
∉
A
{\displaystyle I_{A}(w)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&w\in A\\0,&w\notin A\end{array}}\right.}
heißt Indikatorvariable oder Indikatorfunktion von
A
{\displaystyle A}
{
0
,
1
}
{\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }
X
{\displaystyle X}
I
A
{\displaystyle I_{A}}
A
=
{
w
∈
Ω
:
X
(
w
)
=
1
}
=
{
X
=
1
}
.
{\displaystyle A=\lbrace w\in \Omega :X(w)=1\rbrace =\lbrace X=1\rbrace .}
Sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
P
{\displaystyle P}
Ω
{\displaystyle \Omega }
p
=
P
(
A
)
{\displaystyle p=P(A)}
X
=
I
A
{\displaystyle X=I_{A}}
P
(
X
=
1
)
=
p
,
P
(
X
=
0
)
=
1
−
p
{\displaystyle P(X=1)=p,P(X=0)=1-p}
X
{\displaystyle X}
B
(
1
,
p
)
{\displaystyle B(1,p)}
Für Indikatorvariablen:
I
A
∩
B
=
I
A
⋅
I
B
{\displaystyle I_{A\cap B}=I_{A}\cdot I_{B}}
I
A
∪
B
=
I
A
+
I
B
+
1
A
∩
B
{\displaystyle I_{A\cup B}=I_{A}+I_{B}+1_{A\cap B}}
I
A
¯
=
I
−
I
A
,
(
1
=
1
Ω
)
{\displaystyle I_{\bar {A}}=I-I_{A},(1=1_{\Omega })}
Die nun folgenden Erläuterungen beziehen sich auf den Fall von mehreren, aber auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
Gegeben
k
{\displaystyle k}
X
1
,
.
.
.
X
k
,
X
i
:
Ω
→
Ω
i
′
⊂
R
{\displaystyle X_{1},...X_{k},X_{i}:\Omega \to \Omega _{i}'\subset \mathbb {R} }
Sei
X
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
k
)
:
Ω
→
Ω
′
=
Ω
1
1
′
×
.
.
.
×
Ω
k
′
⊂
R
k
{\displaystyle X=(X_{1},...,X_{k}):\Omega \to \Omega '=\Omega _{1}1'\times ...\times \Omega _{k}'\subset \mathbb {R} ^{k}}
P
X
=
P
(
X
1
,
.
.
.
,
X
k
)
{\displaystyle P_{X}=P_{(X_{1},...,X_{k})}}
X
1
,
.
.
.
,
X
k
;
P
X
i
{\displaystyle X_{1},...,X_{k};P_{X_{i}}}
P
X
i
{\displaystyle P_{X_{i}}}
P
X
{\displaystyle P_{X}}
A
i
′
⊂
Ω
i
′
{\displaystyle A_{i}'\subset \Omega '_{i}}
A
′
=
Ω
1
′
×
.
.
.
×
Ω
i
−
1
′
×
A
i
′
×
Ω
i
+
1
′
×
.
.
.
×
Ω
k
′
.
{\displaystyle A'=\Omega '_{1}\times ...\times \Omega '_{i-1}\times A'_{i}\times \Omega '_{i+1}\times ...\times \Omega _{k}'.}
Dann ist
X
−
1
(
A
′
)
=
{
w
:
X
1
(
w
)
∈
Ω
1
′
,
.
.
.
,
X
i
(
w
)
∈
A
i
′
,
.
.
.
,
X
k
(
w
)
∈
Ω
k
′
}
{\displaystyle X^{-1}(A')=\lbrace w:X_{1}(w)\in \Omega _{1}',...,X_{i}(w)\in A_{i}',...,X_{k}(w)\in \Omega _{k}'\rbrace }
=
{
w
:
X
i
(
w
)
∈
A
i
′
}
=
X
i
−
1
(
A
i
′
)
{\displaystyle =\lbrace w:X_{i}(w)\in A_{i}'\rbrace =X_{i}^{-1}(A_{i}')}
P
X
i
(
A
i
′
)
=
P
(
X
i
−
1
(
A
i
′
)
)
=
P
(
X
−
1
(
A
′
)
)
=
P
X
(
A
′
)
{\displaystyle P_{X_{i}}(A'_{i})=P(X_{i}^{-1}(A_{i}'))=P(X^{-1}(A'))=P_{X}(A')}
Werfen zweier (unterschiedbarer) Würfel. Setze
Ω
=
{
1
,
.
.
.
,
6
}
2
,
w
=
{
j
,
k
}
∈
Ω
,
1
≤
j
,
k
≤
6
{\displaystyle \Omega =\lbrace 1,...,6\rbrace ^{2},w=\lbrace j,k\rbrace \in \Omega ,1\leq j,k\leq 6}
X
i
:
Ω
→
Ω
i
′
=
{
1
,
.
.
.
,
6
}
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle X_{i}:\Omega \to \Omega '_{i}=\lbrace 1,...,6\rbrace ,i=1,2}
X
1
=
(
(
j
,
k
)
)
=
j
[
X
2
=
(
(
j
,
k
)
)
=
k
]
{\displaystyle X_{1}=((j,k))=j[X_{2}=((j,k))=k]}
Hier ist
Ω
′
=
Ω
1
′
×
Ω
2
′
=
Ω
{\displaystyle \Omega '=\Omega _{1}'\times \Omega '_{2}=\Omega }
X
1
,
X
2
{\displaystyle X_{1},X_{2}}
Ω
′
{\displaystyle \Omega '}
P
(
X
1
,
X
2
)
(
{
(
j
,
k
)
}
)
=
1
|
Ω
′
|
=
1
36
{\displaystyle P_{(X_{1},X_{2})}(\lbrace (j,k)\rbrace )={\frac {1}{|\Omega '|}}={\frac {1}{36}}}
j
,
k
=
1
,
.
.
.
,
6
{\displaystyle j,k=1,...,6}
Die Randverteilung von
X
1
{\displaystyle X_{1}}
P
X
1
(
{
j
}
=
P
(
X
1
,
X
2
)
(
{
j
}
×
{
1
,
.
.
.
,
6
}
)
=
∑
k
=
1
6
P
(
X
1
,
X
2
)
(
{
(
j
,
k
)
}
)
=
6
36
=
1
6
{\displaystyle P_{X_{1}}(\lbrace j\rbrace =P_{(X_{1},X_{2})}(\lbrace j\rbrace \times \lbrace 1,...,6\rbrace )=\sum _{k=1}^{6}P_{(X_{1},X_{2})}(\lbrace (j,k)\rbrace )={\frac {6}{36}}={\frac {1}{6}}}
![{\displaystyle k=3[k=4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e983f18ded5b0d683348d3429e151aa4d0c959d)
![{\displaystyle [h(4;10,32,4)={\frac {{\binom {4}{4}}{\binom {28}{6}}}{\binom {32}{10}}}=\approx 0,0058\approx {\frac {1}{172}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2709b25996283ed85a0d8333d55799b6f50645)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle P'(A')=P(X^{-1}(A'))=P(A)\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d616f968166d8113f1b29d8ab4f2b381db14e5)
![{\displaystyle X_{1}=((j,k))=j[X_{2}=((j,k))=k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38547d6fb70b8f8e94d0a04d7d61110d152ce64f)
