Kurs:Statistik für Anwender/Kombinatorische Hilfsmittel

Kombinatorische Hilfsmittel

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Bei vielen ZE ist die Modellierung als Laplace-Experiment sinnvoll, wenn man die Ergebnisse geeignet beschreibt. Insbesondere ist es dabei oft sinnvoll, die Ergebnisse als Tupel oder Mengen darzustellen. Um darauf aufbauend Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, ist es notwendig zu wissen, wieviele Tupel/Mengen mit bestimmten Eigenschaften es gibt.

Produktmengen und Tupel

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Sind   Mengen, so ist
 
die Produktmenge von  . Ihre Elemente   heißen Tupel.

Beachte: Bei Tupeln ist auch die Reihenfolge der Einträge (Komponenten) von Bedeutung. Ist  , so ist  .

Falls   endliche Mengen sind, gilt:
 

Beispiele Produktmengen und Tupel

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  •   mit  
  •  
     
    mit  

Mächtigkeit

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Ist   eine Menge, so ist  
Falls   eine endliche Menge ist, gilt  .

Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit I

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  •  
     

    mit  
  •  
     
    mit  
  •   mit  

Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit II

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  • Ein Würfel wird  -mal geworfen. Mit der Ergebnismenge   Dabei bedeutet das Ergebnis  , dass beim 1.Wurf   fällt, beim 2.Wurf   und beim 3.Wurf  .
      Z.B.: (4,1,1) " Im 1.Wurf fällt eine  , beim 2. und 3. Wurf eine   "
    ist das ZE ein Laplace-Experiment. Wir betrachten einige Ereignisse:
     

Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit III

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  • Ein 4-seitiger und ein 6-seitiger Würfel werden geworfen. Mit der Ergebnismenge   Dabei bedeutet das Ergebnis  , dass der  -seitige Würfel   zeigt und der  -seitige Würfel   zeigt. ist das ZE ein Laplace-Experiment. Wir betrachten einige Ereignisse:

 

Aufgabe 1

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Eine Münze wird  -mal geworfen. Geben Sie eine Ergebnismenge   an, bezüglich der dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Elemente hat  ?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von  . Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:  

Aufgabe 2

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Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er

  • mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
  • ein rotes Hemd trägt.
  • drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
  • drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt.

Aufgabe 3

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Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es   Fragen mit jeweils   Antwortmöglichkeiten und   Fragen mit jeweils   Antwortmöglichkeiten (bei jeder Frage ist genau eine Antwort richtig). Wie groß ist bei einer rein zufälligen Wahl der Antworten die Wahrscheinlichkeit

  • alle Fragen richtig zu beantworten?
  • mindestens   Fragen richtig zu beantworten?
  • keine Frage richtig zu beantworten?

Fakultät

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Definition Fakultät

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Für   definiert man:
 
Zusätzlich setzt man  .
Für alle   gilt dann:
 

Beispiel Fakultät

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Fakultät in R

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In R berechnet man   mit  

Mengen von Tupeln mit paarweise verschiedenen Komponenten

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Ist   eine Menge mit  , so gilt für alle  :  

  Insbesondere ist also:  

Beispiel I

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Wir betrachten  . Dann ist

 
 
mit  .

Beispiel II

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Wir betrachten  .
Dann ist:
 
 
mit  .

Beispiel III

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Bei einer Feier sind 25 Personen anwesend. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der Personen am selben Tag Geburtstag haben. Mit der Ergebnismenge   ist das ZE ein Laplace-Experiment (dabei bezeichnen   die Tage eines Jahres, wir ignorieren hierbei den 29.Februar). Es gilt  .

Für das Ereignis  : "Mindestens   Personen haben am selben Tag Geburtstag." gilt:
 

Beispiel IV.1

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Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern   in einer Lostrommel. Daraus werden   Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit der Ergebnismenge
 
ist das ZE ein Laplace-Experiment. Es gilt  .

  • Ein Spieler hat   bestimmte Zahlen   ausgewählt. Das Ereignis   besagt, dass genau diese   Zahlen gezogen werden. Dabei gilt:
     

  • Beispiel IV.2

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  • Für das Ereignis  : Beim ersten Ziehen wird die 7 gezogen. gilt: Da für ein Element von   (unter Berücksichtigung der Reihenfolge) immer   verschiedene von   Zahlen ausgewählt werden, gilt:
     

Aufgabe 1

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In einer Lostrommel befinden sich   Kugeln mit den Nummern  . Davon werden nun nacheinander   Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge   an, deren Elemente Tupel sind, so dass dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Element hat  ?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von  . Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:  

Aufgabe 2

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Die Buchstaben   werden zufällig aneinandergereiht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei das Wort MISSISSIPPI zu erhalten?

Binomialkoeffizienten

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Ist   und  , so definiert man den Binomialkoeffizienten  
Zusätzlich setzt man  , falls   oder   ist.

Beispiel Binomialkoeffizient

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  •  
  •   und  
  •  

Rechenregeln für Binomialkoeffizient

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Die folgenden Rechenregeln gelten für beliebige  :    

Berechnung in R

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In R berechnet man   mit  

Mengen von (Teil-)Mengen

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Ist   eine Menge, so ist   (Potenzmenge von  , siehe Ereignis).
Beachte: Eine Menge ändert sich nicht, wenn man ihre Elemente in anderer Reihenfolge aufzählt. Ist  , so ist dennoch  

Falls   ist, so gilt
 

Beispiel I

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Für   ist   mit  .
Weiter:
 
 
mit  .

Beispiel II

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  • Für eine  -elementige Teilmenge gibt es genau   Teilmengen mit   Elementen.
  • Zu einer  -elementigen Menge   gibt es genau   Teilmenge mit   Elementen (nämlich  ) und genau   Teilmenge mit   (nämlich   selbst).

Beispiel III

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  • Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern   in einer Lostrommel. Daraus werden   Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit der Ergebnismenge
     
    ist das ZE ein Laplace-Experiment. Es gilt  .
    • Ein Spieler hat   bestimmte Zahlen   ausgewählt. Das Ereignis   besagt, dass genau diese   Zahlen gezogen werden. Dabei gilt:
       
    • Das Ereignis  : Beim ersten Ziehen wird die 7 gezogen. kann mit nicht als Teilmenge dieser Ergebnismenge   beschrieben werden.

Beispiel IV

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  • Ein Kartenspiel mit 32 Karten (in 4 Farben mit jeweils 8 Werten) wird gemischt und ein Spieler zieht 3 Karten. Mit der Ergebnismenge   ist das ZE ein Laplace-Experiment. (Dabei stehen   für die 4 Farben und   für die 8 Werte. Es gilt  .
    • Das Ereignis   besagt, dass alle 3 Karten dieselbe Farbe haben. Es ist:
       

Beispiel V

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    • Das Ereignis   besagt, dass alle 3 Karten verschiedene Farben haben. Es ist etwas komplizierter,   als Menge präzise aufzuschreiben. Dies ist aber auch gar nicht nötig, denn es genügt die Elementanzahl   zu bestimmen. Es gilt:
       

Beispiel VI

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Rechenweg 1: Es gibt 32 Mögl. für die erste Karte, dann noch 24 Mögl. für die zweite Karte (denn sie muss ja eine andere Farbe haben, als die erste) und dann noch 16 Mögl. für die dritte Karte. Da bei den Ergebnissen die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden darf (Ergebnisse sind Mengen), hat man dabei jedes Ergebnis, das in   liegt, mehrfach (genau  -mal) gezählt.
Rechenweg 2: Zunächst überlegt man sich, dass es   Mögl. für die 3 der 4 vorkommenden Farben gibt. Dann gibt es für jede der drei ausgewählten Farben 8 Mögl. eine Karte auszuwählen.
 

Beispiel VII

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In einer Klasse mit   Schülern werden   für ein Projekt ausgelost.

  •   befreundete Schüler wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sie alle   an dem Projekt teilnehmen werden. Mit der Ergebnismenge  
    ist das ZE ein Laplace-Experiment. Das Ereignis   besagt, dass die   befreundeten Schüler alle dabei sind.   besteht genau aus den Mengen der Form, die die drei Schüler und noch 4 weitere Schüler (von den übrigen 27) enthalten.
     
  • Das Ereignis   besagt, dass genau 2 der 3 befreundeten Schüler teilnehmen. Es gilt:  

Zusammenfassung:

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Aufgaben

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Aufgabe I

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In einer Lostrommel befinden sich   Kugeln mit den Nummern  . Davon werden nun nacheinander   Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Geben Sie eine Ergebnismenge   an, deren Elemente Mengen sind, so dass dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wieviele Element hat  ?
Welche der folgenden Ereignisse können als Teilmenge von   beschrieben werden. Bestimmen Sie die Elementanzahl dieser Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:
 

Aufgabe II

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Aus einem Kartenspiel mit 32 (8 Werte in 4 verschiedenen Farben) Karten werden 5 zufällig gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei

  • alle   Farben unter den gezogenen Karten vorkommen.
  • keine Karte mit dem höchsten der Werte gezogen wird.
  •   Karten gleicher Farbe gezogen werden ("Flush").
  •   Karten mit gleichem Wert und weitere   Karten mit gleichem Wert gezogen werden ("Full House").

Aufgabe III

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Geben Sie für jede der kombinatorischen Situationen (aus der Tabelle auf Seite 25) ein Alltagsbeispiel an (nicht aus der Vorlesung, dem Skript oder einer Übungsaufgabe).


Aufgabe IV

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Seien   Ereignisse eines Zufallsexperiments. Beschreiben Sie mengentheoretisch (d. h. als Vereinigungs-, Schnitt- und/oder Komplementärmenge) die folgenden Ereignisse:

  1. Alle Ereignisse   treten ein.
  2. Mindestens eines der Ereignisse   tritt ein.
  3. Nur   tritt ein.

Aufgabe V

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Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er

  • mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
  • ein rotes Hemd trägt.
  • drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
  • drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt.

Aufgabe VI

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Eine Münze wird  -mal geworfen. Geben Sie eine Ergebnismenge   an, bezüglich der dieses ZE ein Laplace-Experiment ist. Wie viele Elemente hat  ?
Beschreiben Sie nun die folgenden Ereignisse als Teilmenge von  . Bestimmen Sie die Elementanzahl der Mengen und berechnen Sie daraus ihre Wahrscheinlichkeit:  

Siehe auch

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