Bei vielen ZE ist die Modellierung als Laplace-Experiment sinnvoll, wenn man die Ergebnisse geeignet beschreibt. Insbesondere ist es dabei oft sinnvoll, die Ergebnisse als Tupel oder Mengen darzustellen. Um darauf aufbauend Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, ist es notwendig zu wissen, wieviele Tupel/Mengen mit bestimmten Eigenschaften es gibt.
Produktmengen und Tupel
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Sind
X
1
,
…
,
X
m
{\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}
X
1
×
…
×
X
m
=
{
(
x
1
,
…
,
x
m
)
;
x
k
∈
X
k
}
.
{\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{m}=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{m});\ x_{k}\in X_{k}\right\}.}
Produktmenge
X
1
,
…
,
X
m
{\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}
(
x
1
,
…
,
x
m
)
{\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}
Tupel Beachte: Bei Tupeln ist auch die Reihenfolge der Einträge (Komponenten) von Bedeutung. Ist
a
≠
b
{\textstyle a\not =b}
(
a
,
b
)
≠
(
b
,
a
)
{\textstyle (a,b)\not =(b,a)}
Falls
X
1
,
…
,
X
m
{\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}
|
X
1
×
…
×
X
m
|
=
|
X
1
|
⋅
…
⋅
|
X
m
|
{\displaystyle \left|X_{1}\times \ldots \times X_{m}\right|=|X_{1}|\cdot \ldots \cdot |X_{m}|}
Beispiele Produktmengen und Tupel
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{
a
,
b
}
×
{
1
,
2
,
3
}
=
{
(
a
,
1
)
,
(
a
,
2
)
,
(
a
,
3
)
,
(
b
,
1
)
,
(
b
,
2
)
,
(
b
,
3
)
}
{\textstyle \{a,b\}\times \{1,2,3\}=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}}
|
{
a
,
b
}
×
{
1
,
2
,
3
}
|
=
6
{\textstyle |\{a,b\}\times \{1,2,3\}|=6}
{
1
,
2
}
×
{
1
,
2
,
3
,
4
}
×
{
1
,
2
,
3
}
=
{\textstyle \{1,2\}\times \{1,2,3,4\}\times \{1,2,3\}=}
{
(
1
,
1
,
1
)
,
(
1
,
1
,
2
)
,
(
1
,
1
,
3
)
,
(
1
,
2
,
1
)
,
(
1
,
2
,
2
)
,
(
1
,
2
,
3
)
,
(
1
,
3
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
,
(
1
,
3
,
3
)
,
(
1
,
4
,
1
)
,
(
1
,
4
,
2
)
,
(
1
,
4
,
3
)
,
(
2
,
1
,
1
)
,
(
2
,
1
,
2
)
,
(
1
,
1
,
3
)
,
(
2
,
2
,
1
)
,
(
2
,
2
,
2
)
,
(
2
,
2
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
)
,
(
2
,
3
,
2
)
,
(
2
,
3
,
3
)
,
(
2
,
4
,
1
)
,
(
2
,
4
,
2
)
,
(
2
,
4
,
3
)
}
{\textstyle \left\{{\begin{array}{c}(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),\\(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(1,4,1),(1,4,2),(1,4,3),\\(2,1,1),(2,1,2),(1,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),\\(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(2,4,1),(2,4,2),(2,4,3)\end{array}}\right\}}
|
{
1
,
2
}
×
{
1
,
2
,
3
,
4
}
×
{
1
,
2
,
3
}
|
=
24
{\textstyle |\{1,2\}\times \{1,2,3,4\}\times \{1,2,3\}|=24}
Ist
X
{\textstyle X}
X
m
=
X
×
…
×
X
⏟
m
-mal
=
{
(
x
1
,
…
,
x
m
)
;
x
k
∈
X
}
.
{\displaystyle X^{m}=\underbrace {X\times \ldots \times X} _{m{\text{-mal}}}=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{m});\ x_{k}\in X\right\}.}
X
{\textstyle X}
|
X
m
|
=
|
X
|
m
{\textstyle \left|X^{m}\right|=|X|^{m}}
Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit I
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{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
2
=
{\textstyle \{1,2,3,4,5,6\}^{2}=}
{
(
1
,
1
)
,
(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
1
,
4
)
,
(
1
,
5
)
,
(
1
,
6
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
2
,
3
)
,
(
2
,
4
)
,
(
2
,
5
)
,
(
2
,
6
)
,
(
3
,
1
)
,
(
3
,
2
)
,
(
3
,
3
)
,
(
3
,
4
)
,
(
3
,
5
)
,
(
3
,
6
)
,
(
4
,
1
)
,
(
4
,
2
)
,
(
4
,
3
)
,
(
4
,
4
)
,
(
4
,
5
)
,
(
4
,
6
)
,
(
5
,
1
)
,
(
5
,
2
)
,
(
5
,
3
)
,
(
5
,
4
)
,
(
5
,
5
)
,
(
5
,
6
)
,
(
6
,
1
)
,
(
6
,
2
)
,
(
6
,
3
)
,
(
6
,
4
)
,
(
6
,
5
)
,
(
6
,
6
)
}
{\textstyle \left\{{\begin{array}{l}(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}}\right\}}
|
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
2
|
=
36
{\textstyle \left|\{1,2,3,4,5,6\}^{2}\right|=36}
{
0
,
1
}
4
=
{\textstyle \{0,1\}^{4}=}
{
(
0
,
0
,
0
,
0
)
,
(
0
,
0
,
0
,
1
)
,
(
0
,
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
,
1
)
,
(
0
,
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
,
1
)
,
(
0
,
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
,
1
,
1
)
,
(
1
,
0
,
0
,
0
)
,
(
1
,
0
,
0
,
1
)
,
(
1
,
0
,
1
,
0
)
,
(
1
,
0
,
1
,
1
)
,
(
1
,
1
,
0
,
0
)
,
(
1
,
1
,
0
,
1
)
,
(
1
,
1
,
1
,
0
)
,
(
1
,
1
,
1
,
1
)
}
{\textstyle \left\{{\begin{array}{c}(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,1,0,1),\\(0,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,0,1,1),\\(1,1,0,0),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1)\end{array}}\right\}}
|
{
0
,
1
}
4
|
=
16
{\textstyle \left|\{0,1\}^{4}\right|=16}
{
1
,
…
,
10
}
5
=
{
(
x
1
,
…
,
x
5
)
;
x
i
∈
{
1
,
…
,
10
}
}
{\textstyle \{1,\ldots ,10\}^{5}=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{5});\ x_{i}\in \{1,\ldots ,10\}\right\}}
|
{
1
,
…
,
10
}
5
|
=
100000
{\textstyle \left|\{1,\ldots ,10\}^{5}\right|=100000}
Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit II
Bearbeiten
Ein Würfel wird
3
{\textstyle 3}
Ω
=
{
1
,
…
,
6
}
3
{\textstyle \Omega =\{1,\ldots ,6\}^{3}}
(
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
)
{\textstyle (\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}
ω
1
{\textstyle \omega _{1}}
ω
2
{\textstyle \omega _{2}}
ω
3
{\textstyle \omega _{3}}
{\textstyle \;\quad \quad }
4
{\textstyle 4}
1
{\textstyle 1}
A
:
'' Keine 2 wird geworfen.''
→
P
(
A
)
=
125
216
B
:
'' Mindestens eine 2 wird geworfen.''
→
P
(
B
)
=
91
216
C
:
'' Augensumme ist 6.''
→
P
(
C
)
=
10
216
{\displaystyle {\begin{array}{|rlcl|}\hline A:&{\text{'' Keine 2 wird geworfen.''}}&\rightarrow &P(A)={\frac {125}{216}}\\\hline B:&{\text{'' Mindestens eine 2 wird geworfen.''}}&\rightarrow &P(B)={\frac {91}{216}}\\\hline C:&{\text{'' Augensumme ist 6.''}}&\rightarrow &P(C)={\frac {10}{216}}\\\hline \end{array}}}
Beispiele Produktmengen und Mächtigkeit III
Bearbeiten
Ein 4-seitiger und ein 6-seitiger Würfel werden geworfen. Mit der Ergebnismenge
Ω
=
{
1
,
…
,
6
}
×
{
1
,
…
,
4
}
{\textstyle \Omega =\{1,\ldots ,6\}\times \{1,\ldots ,4\}}
(
ω
1
,
ω
2
)
{\textstyle (\omega _{1},\omega _{2})}
6
{\textstyle 6}
ω
1
{\textstyle \omega _{1}}
4
{\textstyle 4}
ω
2
{\textstyle \omega _{2}}
A
:
'' Der sechseitige Würfel zeigt eine 3.''
→
P
(
A
)
=
1
6
B
:
'' Der vierseitige Würfel zeigt die größere Zahl. ''
→
P
(
B
)
=
6
24
{\displaystyle {\begin{array}{|rlcl|}\hline A:&{\text{'' Der sechseitige Würfel zeigt eine 3.''}}&\rightarrow &P(A)={\frac {1}{6}}\\\hline B:&{\text{'' Der vierseitige Würfel zeigt die größere Zahl. ''}}&\rightarrow &P(B)={\frac {6}{24}}\\\hline \end{array}}}
Eine Münze wird
6
{\textstyle 6}
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
A
:
Es fällt genau zweimal Kopf.
B
:
Zahl fällt mindestens viermal hintereinander.
C
:
Bei den ersten beiden Würfen fällt Zahl.
D
=
A
∩
B
,
E
=
A
∩
C
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Es fällt genau zweimal Kopf.}}\\B:&&{\text{Zahl fällt mindestens viermal hintereinander.}}\\C:&&{\text{Bei den ersten beiden Würfen fällt Zahl.}}\\&&D=A\cap B,\quad E=A\cap C\end{array}}}
Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er
mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
ein rotes Hemd trägt.
drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt. Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es
4
{\textstyle 4}
4
{\textstyle 4}
2
{\textstyle 2}
6
{\textstyle 6}
alle Fragen richtig zu beantworten?
mindestens
5
{\textstyle 5}
keine Frage richtig zu beantworten? Für
n
∈
N
{\textstyle n\in \mathbb {N} }
n
!
=
1
⋅
2
⋅
…
⋅
(
n
−
1
)
⋅
n
(
sprich:
n
Fakultät
)
.
{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n\quad ({\text{sprich:}}\ \mathbf {n} \ {\text{Fakultät}}).}
0
!
=
1
{\textstyle 0!=1}
n
∈
N
{\textstyle n\in \mathbb {N} }
(
n
+
1
)
!
=
(
n
+
1
)
⋅
n
!
{\textstyle \ (n+1)!=(n+1)\cdot n!}
1
!
=
1
,
2
!
=
2
,
3
!
=
6
,
4
!
=
24
,
5
!
=
120
,
…
{\textstyle 1!=1,\quad 2!=2,\quad 3!=6,\quad 4!=24,\quad 5!=120,\quad \ldots }
In R
n
!
{\textstyle n!}
factorial(
n
)
.
{\textstyle \;\color {blue}{{\text{factorial(}}n).}}
Mengen von Tupeln mit paarweise verschiedenen Komponenten
Bearbeiten
Ist
X
{\textstyle X}
|
X
|
=
n
<
∞
{\textstyle |X|=n<\infty }
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\textstyle k\in \{1,\ldots ,n\}}
|
{
(
x
1
,
…
,
x
k
)
∈
X
k
;
x
i
≠
x
j
für
i
≠
j
}
|
=
n
⋅
(
n
−
1
)
⋅
…
⋅
(
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle \left|\{(x_{1},\ldots ,x_{k})\in X^{k};\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}
=
n
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle ={\frac {n!}{(n-k)!}}}
|
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
X
n
;
x
i
≠
x
j
für
i
≠
j
}
|
=
n
!
{\displaystyle \left|\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X^{n};\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=n!}
Wir betrachten
X
=
{
a
,
b
,
c
,
d
,
e
}
{\textstyle X=\{a,b,c,d,e\}}
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
X
;
x
i
≠
x
j
für
i
≠
j
}
=
{\textstyle {\begin{aligned}\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}=\end{aligned}}}
{
(
a
,
b
,
c
)
,
(
a
,
b
,
d
)
,
(
a
,
b
,
e
)
,
(
a
,
c
,
b
)
,
(
a
,
c
,
d
)
,
(
a
,
c
,
e
)
,
(
a
,
d
,
b
)
,
(
a
,
d
,
c
)
,
(
a
,
d
,
e
)
,
(
a
,
e
,
b
)
,
(
a
,
e
,
c
)
,
(
a
,
e
,
d
)
(
b
,
a
,
c
)
,
(
b
,
a
,
d
)
,
(
b
,
a
,
e
)
,
(
b
,
c
,
b
)
,
(
b
,
c
,
d
)
,
(
b
,
c
,
e
)
,
(
b
,
d
,
a
)
,
(
b
,
d
,
c
)
,
(
b
,
d
,
e
)
,
(
b
,
e
,
a
)
,
(
b
,
e
,
c
)
,
(
b
,
e
,
d
)
(
c
,
a
,
b
)
,
(
c
,
a
,
d
)
,
(
c
,
a
,
e
)
,
(
c
,
b
,
a
)
,
(
c
,
b
,
d
)
,
(
c
,
b
,
e
)
,
(
c
,
d
,
a
)
,
(
c
,
d
,
b
)
,
(
c
,
d
,
e
)
,
(
c
,
e
,
a
)
,
(
c
,
e
,
b
)
,
(
c
,
e
,
d
)
(
d
,
a
,
b
)
,
(
d
,
a
,
c
)
,
(
d
,
a
,
e
)
,
(
d
,
b
,
a
)
,
(
d
,
b
,
c
)
,
(
d
,
b
,
e
)
,
(
d
,
c
,
a
)
,
(
d
,
c
,
b
)
,
(
d
,
c
,
e
)
,
(
d
,
e
,
a
)
,
(
d
,
e
,
b
)
,
(
d
,
e
,
c
)
(
e
,
a
,
b
)
,
(
e
,
a
,
c
)
,
(
e
,
a
,
d
)
,
(
e
,
b
,
a
)
,
(
e
,
b
,
c
)
,
(
e
,
b
,
d
)
,
(
e
,
c
,
a
)
,
(
e
,
c
,
b
)
,
(
e
,
c
,
d
)
,
(
e
,
d
,
a
)
,
(
e
,
d
,
b
)
,
(
e
,
d
,
c
)
}
{\textstyle {\begin{aligned}{\left\{{\begin{array}{l}(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,b),(a,c,d),(a,c,e),(a,d,b),(a,d,c),(a,d,e),(a,e,b),(a,e,c),(a,e,d)\\(b,a,c),(b,a,d),(b,a,e),(b,c,b),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,a),(b,d,c),(b,d,e),(b,e,a),(b,e,c),(b,e,d)\\(c,a,b),(c,a,d),(c,a,e),(c,b,a),(c,b,d),(c,b,e),(c,d,a),(c,d,b),(c,d,e),(c,e,a),(c,e,b),(c,e,d)\\(d,a,b),(d,a,c),(d,a,e),(d,b,a),(d,b,c),(d,b,e),(d,c,a),(d,c,b),(d,c,e),(d,e,a),(d,e,b),(d,e,c)\\(e,a,b),(e,a,c),(e,a,d),(e,b,a),(e,b,c),(e,b,d),(e,c,a),(e,c,b),(e,c,d),(e,d,a),(e,d,b),(e,d,c)\end{array}}\right\}}\end{aligned}}}
|
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
X
;
x
i
≠
x
j
für
i
≠
j
}
|
=
60
{\textstyle \left|\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=60}
Wir betrachten
X
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\textstyle X=\{1,2,3,4\}}
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
∈
X
;
x
i
≠
x
j
für
i
≠
j
}
=
{\textstyle \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}=}
{
(
1
,
2
,
3
,
4
)
,
(
1
,
2
,
4
,
3
)
,
(
1
,
3
,
2
,
4
)
,
(
1
,
3
,
4
,
2
)
,
(
1
,
4
,
2
,
3
)
,
(
1
,
4
,
3
,
2
)
,
(
2
,
1
,
3
,
4
)
,
(
2
,
1
,
4
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
,
4
)
,
(
2
,
3
,
4
,
1
)
,
(
2
,
4
,
1
,
3
)
,
(
2
,
4
,
3
,
1
)
,
(
3
,
1
,
2
,
4
)
,
(
3
,
1
,
4
,
2
)
,
(
3
,
2
,
1
,
4
)
,
(
3
,
2
,
4
,
1
)
,
(
3
,
4
,
1
,
2
)
,
(
3
,
4
,
2
,
1
)
,
(
4
,
1
,
2
,
3
)
,
(
4
,
1
,
3
,
2
)
,
(
4
,
2
,
1
,
3
)
,
(
4
,
2
,
3
,
1
)
,
(
4
,
3
,
1
,
2
)
,
(
4
,
3
,
2
,
1
)
}
{\textstyle {\left\{{\begin{array}{c}(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),\\(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),\\(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),\\(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)\end{array}}\right\}}}
|
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
∈
X
;
x
i
≠
x
j
für
i
≠
j
}
|
=
24
{\textstyle \left|\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in X;\ x_{i}\not =x_{j}\ {\text{für}}\ i\not =j\}\right|=24}
Bei einer Feier sind 25 Personen anwesend. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 der Personen am selben Tag Geburtstag haben. Mit der Ergebnismenge
Ω
=
{
t
1
,
…
,
t
365
}
25
{\textstyle \Omega =\left\{t_{1},\ldots ,t_{365}\right\}^{25}}
t
1
,
…
,
t
365
{\textstyle t_{1},\ldots ,t_{365}}
|
Ω
|
=
365
25
{\textstyle |\Omega |=365^{25}}
Für das Ereignis
A
{\textstyle A}
2
{\textstyle 2}
P
(
A
)
=
0.569
{\textstyle P(A)=0.569}
Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern
1
,
…
,
49
{\textstyle 1,\ldots ,49}
6
{\textstyle 6}
Ω
=
{
(
x
1
,
…
,
x
6
)
∈
{
1
,
…
,
49
}
6
;
x
i
≠
x
j
}
{\displaystyle \Omega =\left\{(x_{1},\ldots ,x_{6})\in \{1,\ldots ,49\}^{6};\ x_{i}\not =x_{j}\right\}}
|
Ω
|
=
10068347520
{\textstyle |\Omega |=10068347520}
In einer Lostrommel befinden sich
7
{\textstyle 7}
1
,
…
,
7
{\textstyle 1,\ldots ,7}
3
{\textstyle 3}
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
A
:
Die Zahlen 1 und 2 werden beide nicht gezogen.
B
:
Die Zahlen 1 und 2 werden beide gezogen.
C
:
Beim zweiten Ziehen zieht man die Zahl 7.
D
:
Die Summe der gezogenen Zahlen beträgt 12.
E
:
Die gezogenen Zahlen werden immer größer.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide nicht gezogen.}}\\B:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide gezogen.}}\\C:&&{\text{Beim zweiten Ziehen zieht man die Zahl 7.}}\\D:&&{\text{Die Summe der gezogenen Zahlen beträgt 12.}}\\E:&&{\text{Die gezogenen Zahlen werden immer größer.}}\end{array}}}
Die Buchstaben
I
,
I
,
I
,
I
,
M
,
P
,
P
,
S
,
S
,
S
,
S
{\textstyle I,I,I,I,M,P,P,S,S,S,S}
Binomialkoeffizienten
Bearbeiten
Ist
n
∈
N
{\textstyle n\in \mathbb {N} }
k
∈
{
0
,
…
,
n
}
{\textstyle k\in \{0,\ldots ,n\}}
Binomialkoeffizienten
(
n
k
)
=
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
=
n
⋅
(
n
−
1
)
⋅
…
⋅
(
n
−
k
+
1
)
1
⋅
2
⋅
…
⋅
k
(
sprich:
n
über
k
)
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k}}\quad ({\text{sprich:}}\ \mathbf {n} \ {\text{über}}\ \mathbf {k} ).}
(
n
k
)
=
0
{\textstyle {n \choose k}=0}
k
<
0
{\textstyle k<0}
k
>
n
{\textstyle k>n}
Beispiel Binomialkoeffizient
Bearbeiten
(
5
2
)
=
10
{\textstyle {5 \choose 2}=10}
(
10
6
)
=
10
!
6
!
⋅
4
!
=
210
{\textstyle {10 \choose 6}={\frac {10!}{6!\cdot 4!}}=210\ }
(
10
4
)
=
210
{\textstyle \ {10 \choose 4}=210}
(
78
24
)
=
79
065
487
387
985
395
712
{\textstyle {78 \choose 24}=79~065~487~387~985~395~712}
Rechenregeln für Binomialkoeffizient
Bearbeiten
Die folgenden Rechenregeln gelten für beliebige
n
,
k
∈
N
{\textstyle n,k\in \mathbb {N} }
(
n
0
)
=
(
n
n
)
=
1
,
(
n
1
)
=
(
n
n
−
1
)
=
n
,
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
{\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1,\quad \quad {n \choose 1}={n \choose n-1}=n,\quad \quad {n \choose k}={n \choose n-k}}
k
⋅
(
n
k
)
=
n
⋅
(
n
−
1
k
−
1
)
(
k
,
n
≥
1
)
,
(
n
+
1
k
+
1
)
=
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
{\displaystyle k\cdot {n \choose k}=n\cdot {n-1 \choose k-1}\ (k,n\geq 1),\quad \quad {n+1 \choose k+1}={n \choose k}+{n \choose k+1}}
In R
(
n
k
)
{\textstyle {n \choose k}}
choose(
n
,
k
)
.
{\textstyle \;\color {blue}{{\text{choose(}}n,k).}}
Mengen von (Teil-)Mengen
Bearbeiten
Ist
X
{\textstyle X}
P
(
X
)
=
{
Y
;
Y
⊆
X
}
{\textstyle {\mathcal {P}}(X)=\{Y;\ Y\subseteq X\}}
X
{\textstyle X}
Ereignis ). Beachte: Eine Menge ändert sich nicht, wenn man ihre Elemente in anderer Reihenfolge aufzählt. Ist
a
≠
b
{\textstyle a\not =b}
{
a
,
b
}
=
{
b
,
a
}
{\textstyle \{a,b\}=\{b,a\}}
Falls
|
X
|
=
n
<
∞
{\textstyle |X|=n<\infty }
|
P
(
X
)
|
=
2
n
und
|
{
Y
⊆
X
;
|
Y
|
=
k
}
|
=
(
n
k
)
für alle
k
∈
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle \left|{\mathcal {P}}(X)\right|=2^{n}\quad {\text{und}}\quad \left|\{Y\subseteq X;\ |Y|=k\}\right|={n \choose k}\quad {\text{für alle}}\ k\in \{0,\ldots ,n\}}
Für
X
=
{
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
}
{\textstyle X=\{a,b,c,d,e,f\}}
{
Y
⊆
X
;
|
Y
|
=
3
}
=
{
{
a
,
b
,
c
}
,
{
a
,
b
,
d
}
,
{
a
,
b
,
e
}
,
{
a
,
b
,
f
}
,
{
a
,
c
,
d
}
,
{
a
,
c
,
e
}
,
{
a
,
c
,
f
}
{
a
,
d
,
e
}
,
{
a
,
d
,
f
}
{
a
,
e
,
f
}
,
{
b
,
c
,
d
}
,
{
b
,
c
,
e
}
{
b
,
c
,
f
}
,
{
b
,
d
,
e
}
{
b
,
d
,
f
}
,
{
b
,
e
,
f
}
,
{
c
,
d
,
e
}
{
c
,
d
,
f
}
,
{
c
,
e
,
f
}
{
d
,
e
,
f
}
}
{\displaystyle \{Y\subseteq X;\ |Y|=3\}=\left\{{\begin{array}{c}\{a,b,c\},\ \{a,b,d\},\ \{a,b,e\},\ \{a,b,f\},\ \{a,c,d\},\\\{a,c,e\},\ \{a,c,f\}\ \{a,d,e\},\ \{a,d,f\}\ \{a,e,f\},\\\{b,c,d\},\ \{b,c,e\}\ \{b,c,f\},\ \{b,d,e\}\ \{b,d,f\},\\\{b,e,f\},\ \{c,d,e\}\ \{c,d,f\},\ \{c,e,f\}\ \{d,e,f\}\end{array}}\right\}}
|
{
Y
⊆
X
;
|
Y
|
=
3
}
|
=
20
{\textstyle \left|\{Y\subseteq X;\ |Y|=3\}\right|=20}
{
Y
⊆
X
;
|
Y
|
=
5
}
=
{
{
a
,
b
,
c
,
d
,
e
}
,
{
a
,
b
,
c
,
d
,
f
}
,
{
a
,
b
,
c
,
e
,
f
}
,
{\displaystyle \{Y\subseteq X;\ |Y|=5\}={\big \{}\{a,b,c,d,e\},\ \{a,b,c,d,f\},\ \{a,b,c,e,f\},}
{
a
,
b
,
d
,
e
,
f
}
,
{
a
,
c
,
d
,
e
,
f
}
,
{
b
,
c
,
d
,
e
,
f
}
}
{\displaystyle \{a,b,d,e,f\},\ \{a,c,d,e,f\},\ \{b,c,d,e,f\}{\big \}}}
|
{
Y
⊆
X
;
|
Y
|
=
5
}
|
=
6
{\textstyle \left|\{Y\subseteq X;\ |Y|=5\}\right|=6}
Für eine
40
{\textstyle 40}
847660528
{\textstyle 847660528}
10
{\textstyle 10}
Zu einer
n
{\textstyle n}
X
{\textstyle X}
1
{\textstyle 1}
0
{\textstyle 0}
∅
{\textstyle \emptyset }
1
{\textstyle 1}
n
{\textstyle n}
X
{\textstyle X}
Beim Lottospiel befinden sich 49 Kugeln mit den Nummern
1
,
…
,
49
{\textstyle 1,\ldots ,49}
6
{\textstyle 6}
Ω
=
{
Y
⊆
{
1
,
…
,
49
}
;
|
Y
|
=
6
}
{\displaystyle \Omega =\left\{Y\subseteq \{1,\ldots ,49\};\ |Y|=6\right\}}
|
Ω
|
=
13983816
{\textstyle |\Omega |=13983816}
Ein Spieler hat
6
{\textstyle 6}
z
1
,
…
,
z
6
{\textstyle z_{1},\ldots ,z_{6}}
G
{\textstyle G}
6
{\textstyle 6}
→
P
(
G
)
=
1
13983816
{\displaystyle \rightarrow \quad P(G)={\frac {1}{13983816}}}
Das Ereignis
A
{\textstyle A}
Ω
{\textstyle \Omega }
Ein Kartenspiel mit 32 Karten (in 4 Farben mit jeweils 8 Werten) wird gemischt und ein Spieler zieht 3 Karten. Mit der Ergebnismenge
Ω
=
{
Y
⊆
{
A
1
,
…
,
A
8
,
B
1
,
…
,
B
8
,
C
1
,
…
,
C
8
,
D
1
,
…
,
D
8
}
;
|
Y
|
=
3
}
{\displaystyle \Omega =\left\{Y\subseteq \{A1,\ldots ,A8,\ B1,\ldots ,B8,\ C1,\ldots ,C8,\ D1,\ldots ,D8\};\ |Y|=3\right\}}
A
,
B
,
C
,
D
{\textstyle A,B,C,D}
1
,
…
,
8
{\textstyle 1,\ldots ,8}
|
Ω
|
=
4960
{\textstyle |\Omega |=4960}
Das Ereignis
A
{\textstyle A}
→
P
(
A
)
=
0.04516
{\displaystyle \rightarrow \quad P(A)=0.04516}
Das Ereignis
B
{\textstyle B}
B
{\textstyle B}
|
B
|
{\textstyle |B|}
|
B
|
=
2048
{\displaystyle |B|=2048}
Rechenweg 1: Es gibt 32 Mögl. für die erste Karte, dann noch 24 Mögl. für die zweite Karte (denn sie muss ja eine andere Farbe haben, als die erste) und dann noch 16 Mögl. für die dritte Karte. Da bei den Ergebnissen die Reihenfolge nicht berücksichtigt werden darf (Ergebnisse sind Mengen), hat man dabei jedes Ergebnis, das in
B
{\textstyle B}
3
!
{\textstyle 3!}
(
4
3
)
{\textstyle {4 \choose 3}}
Es folgt:
P
(
B
)
=
0.4129
{\displaystyle {\text{Es folgt:}}\quad P(B)=0.4129}
In einer Klasse mit
30
{\textstyle 30}
7
{\textstyle 7}
3
{\textstyle 3}
3
{\textstyle 3}
Ω
=
{
Y
⊆
{
s
1
,
…
,
s
30
}
;
|
Y
|
=
7
}
{\displaystyle \Omega =\left\{Y\subseteq \{s_{1},\ldots ,s_{30}\};\ |Y|=7\right\}}
A
{\textstyle A}
3
{\textstyle 3}
A
{\textstyle A}
Also:
P
(
A
)
=
0.0086
{\displaystyle {\text{Also:}}\quad P(A)=0.0086}
Das Ereignis
B
{\textstyle B}
|
B
|
=
242190
→
P
(
B
)
=
0.1190
{\displaystyle |B|=242190\quad \rightarrow \quad P(B)=0.1190}
Situation
Interpretation als
Beachtung der
Berechnung der Anzahl
''Ziehen''
Reihenfolge
der Mögl. insgesamt
verschiedeneartige Möglichkeiten
verschiedene Stapel,
Ja
Produkt
unabhängige Auswahl
gleichartige Möglichkeiten
ein Stapel,
Ja
Potenz
unabhängige Auswahl
mit Zurücklegen
gleichartige Möglichkeiten,
ein Stapel,
Ja
Produkt mit kleiner
Wiederholungen ausgeschlossen
ohne Zurücklegen
werdenden Faktoren
gleichartige Möglichkeiten,
ein Stapel,
Ja
Fakultät
Wiederholungen ausgeschlossen,
ohne Zurücklegen,
alle Mögl. müssen vorkommen
Stapel komplett gezogen
gleichartige Möglichkeiten,
ein Stapel,
Nein
Binomialkoeffizient
Wiederholungen ausgeschlossen,
ohne Zurücklegen,
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline {\text{Situation}}&{\text{Interpretation als}}&{\text{Beachtung der }}&{\text{Berechnung der Anzahl }}\\&{\text{''Ziehen''}}&{\text{Reihenfolge}}&{\text{der Mögl. insgesamt}}\\\hline \hline {\text{verschiedeneartige Möglichkeiten}}&{\text{verschiedene Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Produkt}}\\{\text{unabhängige Auswahl}}&&&\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Potenz}}\\{\text{unabhängige Auswahl}}&{\text{mit Zurücklegen}}&&\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten,}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Produkt mit kleiner}}\\{\text{Wiederholungen ausgeschlossen}}&{\text{ohne Zurücklegen}}&&{\text{werdenden Faktoren}}\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten,}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Ja}}&{\text{Fakultät}}\\{\text{Wiederholungen ausgeschlossen,}}&{\text{ohne Zurücklegen,}}&&\\{\text{alle Mögl. müssen vorkommen}}&{\text{Stapel komplett gezogen}}&&\\\hline {\text{gleichartige Möglichkeiten,}}&{\text{ein Stapel,}}&{\text{Nein}}&{\text{Binomialkoeffizient}}\\{\text{Wiederholungen ausgeschlossen,}}&{\text{ohne Zurücklegen,}}&&\\\hline \end{array}}}
In einer Lostrommel befinden sich
7
{\textstyle 7}
1
,
…
,
7
{\textstyle 1,\ldots ,7}
3
{\textstyle 3}
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
A
:
Die Zahlen 1 und 2 werden beide nicht gezogen.
B
:
Die Zahlen 1 und 2 werden beide gezogen.
C
:
Beim zweiten Ziehen zieht man die Zahl 7.
D
:
Die Summe der gezogenen Zahlen beträgt 12.
E
:
Die gezogenen Zahlen werden immer größer.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide nicht gezogen.}}\\B:&&{\text{Die Zahlen 1 und 2 werden beide gezogen.}}\\C:&&{\text{Beim zweiten Ziehen zieht man die Zahl 7.}}\\D:&&{\text{Die Summe der gezogenen Zahlen beträgt 12.}}\\E:&&{\text{Die gezogenen Zahlen werden immer größer.}}\end{array}}}
Aus einem Kartenspiel mit 32 (8 Werte in 4 verschiedenen Farben) Karten werden 5 zufällig gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei
alle
4
{\textstyle 4}
keine Karte mit dem höchsten der Werte gezogen wird.
5
{\textstyle 5}
Flush ").
3
{\textstyle 3}
2
{\textstyle 2}
Full House ").Geben Sie für jede der kombinatorischen Situationen (aus der Tabelle auf Seite 25) ein Alltagsbeispiel an (nicht aus der Vorlesung, dem Skript oder einer Übungsaufgabe).
Seien
A
1
,
A
2
,
.
.
.
.
,
A
n
{\textstyle A_{1}\ ,A_{2}\ ,....,A_{n}}
Alle Ereignisse
A
1
,
A
2
,
.
.
.
.
,
A
n
{\textstyle A_{1}\ ,A_{2}\ ,....,A_{n}}
Mindestens eines der Ereignisse
A
1
,
A
2
,
.
.
.
.
,
A
n
{\textstyle A_{1}\ ,A_{2}\ ,....,A_{n}}
Nur
A
1
{\textstyle A_{1}}
Jemand wählt zufällig eine der Farben blau, weiß, schwarz und rot für sein Hemd, eine der Farben blau, braun und schwarz für sein Hose und eine der Farben braun und schwarz für seine Schuhe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er
mindestens ein schwarzes Kleidungsstück trägt.
ein rotes Hemd trägt.
drei gleichfarbige Kleidungsstücke trägt.
drei verschiedenfarbige Kleidungsstücke trägt.
Eine Münze wird
4
{\textstyle 4}
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
Ω
{\textstyle \Omega }
A
:
Es fällt genau zweimal Kopf.
B
:
Zahl fällt mindestens zweimal hintereinander.
C
:
Bei den ersten beiden Würfen fällt Zahl.
D
=
A
∩
B
,
E
=
A
∩
C
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}A:&&{\text{Es fällt genau zweimal Kopf.}}\\B:&&{\text{Zahl fällt mindestens zweimal hintereinander.}}\\C:&&{\text{Bei den ersten beiden Würfen fällt Zahl.}}\\&&D=A\cap B,\quad E=A\cap C\end{array}}}
