Kommutative Gruppe/Irreduzible Darstellung/Eindimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von gilt für die zu gehörenden linearen Abbildungen

Aus Fakt, angewandt für festes und alle , folgt, dass eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, sodass in diesem Fall jeder Untervektorraum -invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität eindimensional sein.